Mostre que a relação S sobre R 2 definida por

x 1 ,   y 1 T x 2 ,   y 2   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x 1 y 1   =   x 2 y 2

é uma relação de equivalência. A seguir descreva   ( 0 ,   0 )   - e   ( 1 ,   1 )   -   e R 2 / S .

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Tomando x 1 ,   y 1 ,   x 2 ,   y 2 ∈ R 2   , a relação é válida:

    x 1 y 1   = x 1 y 1  

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado x 1 ,   y 1 ,   x 2 ,   y 2 ∈ R 2 com x 1 ,   y 1 S x 2 ,   y 2 , então:

    x 1 y 1   = x 2 y 2

    Subtraindo ( x 1 y 1   ) de ambos os lados:

    x 1 y 1 - x 1 y 1   = x 2 y 2 - x 1 y 1

    0 = x 2 y 2 + ( - x 1 y 1   )

    Subtraindo ( x 2 y 2 ) de ambos os lados:

    0 = x 2 y 2 + ( - x 1 y 1   )

    - x 2 y 2 = x 2 y 2 + - x 1 y 1   - x 2 y 2

    - x 2 y 2 = - x 1 y 1  

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    - x 2 y 2 = - x 1 y 1                       × - 1

    ⇒ x 2 y 2 = x 1 y 1  

    Dessa forma, implica em x 2 y 2 T ( x 1 y 1 ) e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando x 1 y 1 , x 2 y 2 , ( x 3 y 3 ) ∈ R 2 com ( x 1 y 1 ) S ( x 2 y 2 ) e ( x 2 y 2 ) S ( x 3 y 3 ) , então:

    x 1 y 1 = x 2 y 2   e   x 2 y 2 = x 3 y 3

    ⇒ x 1 y 1 = x 3 y 3

    E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. Vamos descrever as duas situações fazendo as contas.

0 ,   0 - = x , y ∈ R 2 x y = 0 ⋅ 0 = 0

1 ,   1 - = x , y ∈ R 2 x y = 1 ⋅ 1 = 1

R 2 S é um conjunto das hipérboles xy = k.

Resposta

  1. Demonstração
  2. 0 ,   0 - = { 0 } , 1 ,   1 - = { 1 } e R 2 S é o conjunto das hipérboles xy = k.