Mostre que a relação S sobre definida por
é uma relação de equivalência. A seguir descreva e e .
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- Vamos descrever as duas situações fazendo as contas.
Tomando , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dessa forma, implica em e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e , então:
E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
é um conjunto das hipérboles xy = k.
Resposta
- Demonstração
- , e é o conjunto das hipérboles xy = k.