a) Mostre que o resto da divisão de um número por 10 é seu algarismo das unidades e que o resto da divisão por 100 é o número formado pelos dois últimos algarismos do número dado.

b) Ache o algarismo das unidades de 7 ( 7 100 ) .

c) Ache os dois últimos algarismos de 9 ( 9 9 ) .

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

  1. Vamos lá, se n < 10 fica óbvio que o resto é o próprio algarismo. Agora, se n > 10 então existe um q e r ∈ Z onde podemos escrever o seguinte pelo teorema da divisão euclidiana:

n = 10 q + r ,   c o m   0 < r < 10

Isso implica que n ≡ r   ( m o d   10 ) , isto é, a divisão de n por 10 é igual a r, e este, como é menor que 10, é o algarismo que representa a unidade. Analogamente pode-se provar para 100, sendo p e r ' ∈ Z :

m = 100 p + r ' ,   c o m   0 < r < 100

⇒ m ≡ r ' m o d   100

A divisão de m por 100 é igual a r’

Passo 2

Nessa questão devemos encontrar um padrão numérico nas potencias, olha só:

7 0 = 1 → t e r m i n a d o   e m   1

7 1 = 7 → t e r m i n a d o   e m   7

7 2 = 49 → t e r m i n a d o   e m   9

7 3 = 343 → t e r m i n a d o   e m   3

7 4 = 2401 → t e r m i n a d o   e m   1

7 5 = 16807 → t e r m i n a d o   e m   7

Se continuarmos o desenvolvimento, sempre teremos a ordem dos números, para o infinito, como 1, 7, 9 e 3. Como as potencias de 7 seguem esse padrão e tem somente 4 algarismos diferentes para compor seu algarismo das unidades, então podemos determinar o número n tal que:

7 7 100 ≡ n   ( m o d   4 )

A partir dele, iremos descobrir qual o algarismo das unidades:

7 ≡ 3   m o d   4 e   100 ≡ 0   m o d   4

7 7 100 ≡ 3 3 0   m o d   4

7 7 100 ≡ 3   m o d   4

Portanto o algarismo das unidades é 3!

Vamos para a próxima.

Passo 3

Vamos descobrir os últimos dois dígitos utilizando o seguinte método:

  • Determinar um inteiro r tal que 9 9 ≡ r   m o d   10
  • Determinar um inteiro q tal que 9 r ≡ q   ( m o d   100 )

Comecemos:

9 9 = 9 3 3 = 729 3

⇒ 729 ≡ 9   m o d   10 → 729 3 ≡ 9 3   m o d   10

⇒ 9 9 ≡ 729   m o d 10 → 9 9 ≡ 9   m o d   10

r = 9

Próxima parte:

9 9 = 9 3 3 = 729 3 ≡ 29 3   m o d   100

⇒ 9 9 ≡ 29 3 = 24389 ≡ 89   m o d   100

Então os dois últimos dígitos de 9 9 9 são 89.

Resposta

  1. Demonstração.
  2. 3
  3. 89