Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.8 - Ex. 209

Mostre que a reta r : x - 1 = y - 2 - 2 = z + 1 - 2 é tangente à superfície esférica ( x - 4 ) 2 + ( y + 4 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 45 . Ache o plano que contém r e também é tangente à superfície.

Passo 1

Fala, galera! Vamos começar essa questão como de costume, obtendo a equação parametrizada da reta:

r : x - 1 = y - 2 - 2 = z + 1 - 2 = t

⇒ R = ( 1 + t , 2 - 2 t , - 1 - 2 t )

Para que a reta seja tangente à superfície esférica, ela precisa satisfazer a equação da esfera. Então, vamos substituir as coordenadas da reta nessa equação:

( x - 4 ) 2 + ( y + 4 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 45

⇒ ( 1 + t - 4 ) 2 + ( 2 - 2 t + 4 ) 2 + ( - 1 - 2 t - 2 ) 2 = 45

⇒ ( t - 3 ) 2 + ( - 2 t + 6 ) 2 + ( 2 t + 3 ) 2 = 45

⇒ t 2 - 6 t + 9 + 4 t 2 - 24 t + 36 + 4 t 2 + 12 t + 9 = 45

⇒ 9 t 2 - 18 t + 9 = 0

⇒ t 2 - 2 t + 1 = 0

⇒ ( t - 1 ) 2 = 0

⇒ t = 1

Em t = 1 , temos o ponto de interseção entre a esfera e a reta dado por P = ( 1 + t , 2 - 2 t , - 1 - 2 t ) = ( 2,0 , - 3 ) .

Passo 2

O vetor normal do plano tangente tem a mesma direção que o vetor que sai de P = ( 2,0 , - 3 ) e vai até o centro C = ( 4 , - 4,2 ) :

n → = P C → = C - P   = ( 4 , - 4,2 ) - ( 2,0 , - 3 ) = ( 2 , - 4,5 )  

Então, temos um plano do tipo

2 x - 4 y + 5 z + d = 0

Para achar o valor de d , precisamos substituir o ponto P = ( 2,0 , - 3 ) , que pertence ao plano, na equação do plano:

2 ⋅ 2 - 4 ⋅ 0 + 5 ⋅ ( - 3 ) + d = 0

⇒ 4 - 15 + d = 0

⇒ d = 11

Com isso, ficamos com o seguinte plano:

2 x - 4 y + 5 z + 11 = 0

Prontinho! Curtiu?

Resposta

2 x - 4 y + 5 z + 11 = 0 .