Mostre que são lineares as aplicações dadas

a) F : R 3 → R 2 definida por F x , y , z = x + 2 y - 3 z , 4 x - 5 y + 6 z

b) F : R 2 → R ² definida por F x , y = ( a x + b y , c x + d y ) , com a,b,c,d escalares reais

Passo 1

E aíí, gente

Primeiramente temos que lembrar as duas regras pra uma aplicação ser linear:

F u + v = F u + F v

F α u = α . F u

Então vamos provar essas duas regras aqui ok??

Vamos lá!

Passo 2

a) F x , y , z = x + 2 y - 3 z , 4 x - 5 y + 6 z

Seja u = x 1 , y 1 , z 1 e v = x 2 , y 2 , z 2

Temos que

F u + v = F x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2

F u + v = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 - 3 z 1 + z 2 , 4 x 1 + x 2 - 5 y 1 + y 2 + 6 z 1 + z 2

Que é a mesma coisa que:

F u + v = x 1 + 2 y 1 - 3 z 1,4 x 1 - 5 y 1 + 6 z 1 + x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 , 4 x 2 - 5 y 2 + 6 z 2

Ou seja:

F u + v = F u + F v

Então a primeira regrinha ta verificada 😉

Passo 3

Agora vamos provar que F α . u = α . F u

Temos

F α . u = α x + 2 α y - 3 α z , 4 α x - 5 α y + 6 α z

Colocando α em evidência:

F α . u = α . x + 2 y - 3 z , 4 x - 5 y + 6 z

Ou seja

F α u = α . F ( u )

Então a segunda regrinha da provada :D F é sim linearrr

Passo 4

b) F x , y = ( a x + b y , c x + d y )

Seja u = x 1 , y 1 e v = x 2 , y 2

Temos que

F u + v = F x 1 + x 2 , y 1 + y 2

F u + v = a . x 1 + x 2 + b y 1 + y 2 , c . x 1 + x 2 + d y 1 + y 2

Que é a mesma coisa que

F u + v = a x 1 + b y 1 , c x 1 + d y 1 + a x 2 + b y 2 , c x 2 + d y 2

Ou seja

F u + v = F u + F v

Passo 5

Agora vamos provar que F α . u = α . F u

Temos

F α . u = ( a α x + b α y , c α x + d α y )

Colocando α em evidência:

F α . u = α . ( a x + b y , c x + d y )

Logo:

F α . u = α . F ( u )

Então, é linearrrr

Resposta

Demonstração