Enunciado

  1. Mostre que v → = ( a , b ) e w → = - b , a são vetores ortogonais
  2. Use o resultado na parte (a) para encontrar os vetores ortogonais a v → = 2 , - 3
  3. Encontre os vetores unitários ortogonais a (-3,4)

Passo 1

Item a)

Para provar a ortogonalidade de vetores, basta verificar se o produto vetorial é igual à zero. Então vamos calcular o produto vetorial entre eles:

v → ⋅ w → = a , b ⋅ - b , a

v → ⋅ w → = a ⋅ - b + b ⋅ a

v → ⋅ w → = - a b + a b

v → ⋅ w → = 0

Passo 2

Item b)

Se temos um vetor

v = 2 , - 3

Vamos igualar aos vetores v → descrito no item (a)

v → = 2 , - 3 = a , b

Isso quer dizer que:

a = 2 b = - 3

Então, para encontrar o vetor ortogonal, basta substituir o valor de a e b no vetor w →

w → = - b , a

w → = ( 3,2 )

Passo 3

Item c)

Usando a mesma lógica do item (b), vamos determinar o vetor ortogonal:

v → = - 3,4 = a , b ⇒ a = - 3 b = 4

Logo:

w → = - b , a ⇒ w → = - 4 , - 3

Agora basta a gente calcular o vetor unitário u → usando a Equação (4) da seção 3.2:

u → = 1 v → v →

Aplicamos o valor do vetor:

u → = 1 - 4 , - 3 ( - 4 , - 3 )

Calculamos a norma do vetor:

u → = 1 - 4 2 + - 3 2 ( - 4 , - 3 )

u → = 1 5 ( - 4 , - 3 )

Como 1 5 é um escalar, então podemos dividir aplicá-lo sobre os termos do vetor:

u → = - 4 5 , - 3 5

E pronto! Achamos o vetor unitário:

u → = ( - 0.8 , - 0.6 )

Resposta

  1. v → ⋅ w → = 0
  2. w → = 3,2
  3. u → = ( - 0.8 , - 0.6 )
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 3-4, em cada parte esboce o vetor dado com o ponto na origem.(e) (3,3,0)
Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(a) (0,3,-3)
Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(a) (3,-3,0)
Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(e) (0,0,-3)
Nos exercícios 3-4, em cada parte esboce o vetor dado com o ponto na origem.(d) (-1,0,2)