Mostre que a + b = a + | b | se, e somente se, a e b forem ambos ≥ 0 ou ambos ≤ 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão se a + b = a + | b | se, e somente se, a e b forem ambos ≥ 0 ou ambos ≤ 0

Para ambos serem não-negativos ou não-positivos vamos ter que

a + b = a + b ,   s e   a b > 0

Passo 2

Elevando ambos ao quadrado, temos que

a + b 2 = a + b 2

Lembrando que para qualquer x real vamos ter x 2 = x 2 , com isso

a + b 2 = a + b 2

a 2 + 2 a b + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

2 a b = 2 | a | | b |

2 a b = 2 | a b |

a b = a b

Com isso temos que para todo a , b ∈   R

a b ≥ 0

Logo concluímos que a e b são ambos não-negativos ou ambos não-positivos

Passo 3

Partindo da hipótese de que a b ≥ 0 vamos ter dois casos a considerar

Caso 1: a ≤ 0 e b ≤ 0

A consequência imediata desse caso é:

a + b ≤ 0

a + b = - ( a + b )

Pela definição de módulo de um número real, temos que

a = - a ,       p o i s   a ≤ 0 b = - b ,       p o i s   b ≤ 0

Somando as duas igualdades acima e utilizando a equação a + b = - a + b , vamos ter que,

a + b = - a - b

a + b = - ( a + b )

a + b = | a + b |

Passo 4

Caso 2: a ≥ 0 e b ≥ 0

De forma análoga ao caso 1, temos

a + b ≥ 0

a + b = a + b

E para definição de módulo de um número real

a = a ,   p o i s   a ≥ 0

b = b ,   p o i s   b ≥ 0

Somando as duas equações e utilizando a equação a + b = a + b

a + b = a + b

a + b = | a + b |

Com isso pela ida e pela volta temos,

a + b = a + b ↔ a b > 0

Resposta

a + b = a + b ↔ a b > 0