Mostre que o triângulo com vértices , e é retângulo, e calcule sua área.
Passo 1
Olááá, tudo bem??
Nessa questão vamos trabalhar com sistemas de coordenadas, retas e planos e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre o assunto.
Um sistema de coordenadas é uma correspondência entre pares ordenados , que representam um ponto ou um intervalo, e pontos de um plano como mostra a figura abaixo que contém alguns exemplos.
Para encontrar a distância entre dois pontos, utiliza-se a fórmula da distância
Passo 2
Agora que compreendemos as propriedades no Passo 1, vamos começar a resolução da questão.
Primeiramente, vamos marcar os pontos A, B e C no plano coordenado e esboçar o triângulo como mostra a figura abaixo
Para que um triângulo seja retângulo deve satisfazer o teorema de Pitágoras
Portanto, vamos encontrar os valores de , e .
Passo 3
Para e , vamos substituir os valores na fórmula da distância
Logo,
Passo 4
Para e , vamos substituir os valores na fórmula da distância
Logo,
Passo 5
Para e , vamos substituir os valores na fórmula da distância
Logo,
Passo 6
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que
Logo, provamos que o triângulo é retângulo.
Calma, só falta mais um passo para terminarmos, vamos lá!!
Passo 7
Para o cálculo da área iremos a fórmula da área de um triângulo
Como o triângulo é retângulo, já temos o valor da altura
Logo,
Até a próxima! =]