Mostre que o triângulo com vértices A ( 8,5 ) , B ( 1 , - 2 ) e C ( - 3,2 ) é retângulo, e calcule sua área.

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com sistemas de coordenadas, retas e planos e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre o assunto.

Um sistema de coordenadas é uma correspondência entre pares ordenados [ a , b ] , que representam um ponto ou um intervalo, e pontos de um plano como mostra a figura abaixo que contém alguns exemplos.

Para encontrar a distância entre dois pontos, utiliza-se a fórmula da distância

d P 1 , P 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Passo 2

Agora que compreendemos as propriedades no Passo 1, vamos começar a resolução da questão.

Primeiramente, vamos marcar os pontos A, B e C no plano coordenado e esboçar o triângulo como mostra a figura abaixo

Para que um triângulo seja retângulo deve satisfazer o teorema de Pitágoras

a 2 = b 2 + c 2

Portanto, vamos encontrar os valores de A B - , B C - e A C - .

Passo 3

Para A ( 8,5 ) e B ( 1 , - 2 ) , vamos substituir os valores na fórmula da distância

d A , B = 1 - 8 2 + - 2 - 5 2

= - 7 2 + - 7 2

= 49 + 49

Logo,

d A , B = 98

Passo 4

Para B ( 1 , - 2 ) e C ( - 3,2 ) , vamos substituir os valores na fórmula da distância

d B , C = - 3 - 1 2 + 2 - ( - 2 ) 2

= - 4 2 + 4 2

= 16 + 16

Logo,

d B , C = 32

Passo 5

Para A ( 8,5 ) e C ( - 3,2 ) , vamos substituir os valores na fórmula da distância

d A , C = - 3 - 8 2 + 2 - 5 2

= 11 2 + - 3 2

= 121 + 9

Logo,

d A , C = 130

Passo 6

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que

a 2 = b 2 + c 2

d A , C 2 = d A , B 2 + d B , C 2

130 2 = 98 2 + 32 2

130 = 98 + 32

130 = 130

Logo, provamos que o triângulo é retângulo.

Calma, só falta mais um passo para terminarmos, vamos lá!!

Passo 7

Para o cálculo da área iremos a fórmula da área de um triângulo

A = b a s e × a l t u r a 2

Como o triângulo é retângulo, já temos o valor da altura

A = d A , B × d B , C 2

= 98 × 32 2

= 3136 2

= 56 2

Logo,

A = 28

Até a próxima! =]

Resposta

a   R e s u l t a d o   n o s   p a s s o s   2   a   6

b   A = 28