Mostre que se   u   e   v são vetores de direções diferentes e x ,   y ,   x 1 ,   e   y 1 , são números tais que x u   +   y v   =   x 1 u   +   y 1 v , então x   =   x 1   e   y   =   y 1 .

Passo 1

Vamos supor dois vetores u = ( a , b , c )   e   v = ( d , e , f ) diferentes quaisquer.

Relembrando que a multiplicação de um vetor u = ( a , b , c ) por um número K é dada por: K u = ( K a , K b , K c ) .

E, que a soma de dois vetores u = ( a , b , c )   e   v = ( d , e , f ) é dada por: u + v = ( a + d , b + e , c + f ) .

Agora, vamos ao que o enunciado pede!

Passo 2

Então, temos que:

x u   +   y v   =   x 1 u   +   y 1 v

( x a , x b , x c ) + ( y d , y e , y f ) = ( x 1 a , x 1 b , x 1 c ) + ( y 1 d , y 1 e , y 1 f )

( x a + y d , x b + y e , x c + y f ) = ( x 1 a + y 1 d , x 1 b + y 1 e , x 1 c + y 1 f )

x a + y d = x 1 a + y 1 d ; x b + y e = x 1 b + y 1 e ; x c + y f = x 1 c + y 1 f

Passo 3

Então temos três igualdades de seis polinômios cujas variáveis são a , b , c , d , e , f e os coeficientes são x , y , x 1 , y 1 .

Você se lembra da propriedade da igualdade de dois polinômios? Dois polinômios serão iguais se, e somente se, tiverem coeficientes respectivamente iguais.

Assim, nessa equação, por exemplo, x a + y d = x 1 a + y 1 d teríamos que os termos que acompanham a variável a devem ser iguais ( x = x 1 ) . O mesmo pode ser dito da variável d ,   ( y = y 1 ) . Isso pode ser comprovado utilizando quaisquer uma das três igualdades.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)