O movimento de uma partícula é tal, que no instante t sua posição é

P t = ( 1 + t ,   1 - 2 t ,   t )

a) Em que instante a partícula está mais próxima da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1   ?

b) Qual é o ponto desta esfera mais próxima da trajetória da partícula?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão sabendo que o movimento de uma partícula tal que no instante t, sua posição fica,

P t = ( 1 + t ,   1 - 2 t ,   t )

Temos que solucionar os itens mencionados abaixo,

a) Em que instante a partícula está mais próxima da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1   ?

b) Qual é o ponto desta esfera mais próxima da trajetória da partícula?

Passo 2

Na letra (a) para determinarmos o instante que a partícula se aproxima da esfera,

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Para determinarmos a parte mais próxima devemos saber que para isso ela deve estar perto do centro e para isso,

1 + t 2 + 1 - 2 t 2 + t 2

E o mínimo desta distância vai ocorrer quando,

d d t 1 + t 2 + 1 - 2 t 2 + t 2 = 0  

Chegando em t = 1 6

Passo 3

Agora na letra (b) para acharmos o ponto de interseção da esfera com a reta definida temos que

O 0,0 , 0     e     P ( 1 + t ,   1 - 2 t ,   t )

Com t = 1 6

Ficando com,

P 7 6 , 2 3 , 1 6

Chegando na trajetória que valer

1 66 7,4 , 1

Resposta

a) t = 1 6

b) 1 66 7,4 , 1