Se B = - 1   π   e   0   2   3   0   0   1   , então

  1. Seus autovalores são ___
  2. B ___ (pode, não pode) ser diagonalizada pois seus autovalores são ___

Passo 1

Uma boa estratégia pra resolver essa questão é não se assustar pelo fato da matriz ter entradas como pi e raiz quadrada porque o processo de resolução dessa questão safada é o MESMISSÍMO então...

a) Aplicando det(A−λI) na matriz obteremos primeiro os autoVALORES:

- 1 - λ   π   e   0   2 - λ   3   0   0   1 - λ   = - 1 + λ 2 - λ 1 - λ

Desenvolvendo a matriz vamos obter três raízes distintas possíveis λ = - 1   ,   λ = 2   ,   λ = 1 . Teremos que essas raízes já são os próprios autovalores da matriz !!

Passo 2

b) O próximo passo é substituir os λ da matriz pelos autovalores encontrados, dessa forma:

  • λ = 1
  • - 1 - ( 1 )   π   e   0   2 - ( 1 )   3   0   0   1 - ( 1 )   = - 2   π   e   0   1   3   0   0   0  

    Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

    1   0   3 π - e 2     0   1   3   0   0   0  

    { x 1 + 3 π - e 2 x 3 = 0   x 2 + 3   x 3 = 0  

    Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x 3 = 1 , assim, o autovetor quando λ = 1 é v 1 = - 3 π + e 2   - 3   1  

  • λ = - 1
  • - 1 - ( - 1 )   π   e   0   2 - ( - 1 )   3   0   0   1 - ( - 1 )   = 0   π   e   0   3   3   0   0   2  

    Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

    0   1   0     0   0   1   0   0   0  

    { x 2 = 0     x 3 = 0  

    Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x 1 = 1 , assim, o autovetor quando λ = - 1 é v 2 = 1   0   0  

    Agora a gente já pegou a manha de como encontrar os outros autovetores, basta repetir o processo.

  • λ = 2

- 1 - ( 2 )   π   e   0   2 - ( 2 )   3   0   0   1 - ( 2 )   = - 3   π   e   0   0   3   0   0   - 1  

Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

1   - π 3   0     0   0   1   0   0   0  

{ x 1 - π 3 x 2 = 0     x 3 = 0  

Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x 2 = 1 , assim, o autovetor quando λ = 2 é v 3 = π 3   1   0  

Analisando os autoVetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 temos que são distintos!!

Passo 3

E por fim, para descobrirmos se a matriz é diagonalizável, ela tem que satisfazer a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P - 1 . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores ( λ = - 1   ,   λ = 2   ,   λ = 1 ):
  • D = 1   0   0   0   - 1   0   0   0   2  

  • P é a matriz composta dos autovetores   v 1 = - 3 π + e 2   - 3   1     ;   v 2 = 1   0   0     ;   v 3 = π 3   1   0   :
  • P = - 3 π + e 2   - 3   1                 1   0   0                     π 3   1   0    

  • P - 1 é a inversa de P que corresponde à:

P - 1 =   0   1   0                 0   - π 3   1                     1   3 π - 3 e 6   3  

Ah agora tá moleza, se todas as condições são satisfeitas então a matriz é... Diagonalizável!!

Resposta

  1. λ = - 1   ,   λ = 2   ,   λ = 1
  2. pode ser ; v 1 = - 3 π + e 2   - 3   1     v 2 = 1   0   0     v 3 = π 3   1   0     d i s t i n t o s