Normalize cada vetor dado

a) u = (5 , - 7)

b) v = (1,2 , - 2,4)

c) w = ((1)/(2) , - (1)/(3) , (3)/(4))

Passo 1

Oláá pessoal, tudo certo?

Nesse exercício, vamos normalizar alguns vetores, mas antes, vamos lembrar como fazemos isso

Se temos um vetor v , normalizar ele (obter o vetor hat v ) significa que queremos que esse vetor fique com módulo 1

E para isso, basta a gente dividir o vetor pelo seu módulo:

hat v = (v)/(||v||)

Então vamos lá!

Passo 2

a) u = (5 , - 7)

Vamos começar encontrando o módulo de u :

||u|| = sqrt(5^2 + (- 7)^2)

||u|| = sqrt(25 + 49) = sqrt(74)

Então, o vetor normalizado é

hat u = (( 5 , - 7 ))/(sqrt(74))

hat u = ((5)/(sqrt(74)) , - (7)/(sqrt(74)))

Boaaa, vamos pro próximo!

Passo 3

b) v = (1,2 , - 2,4)

Encontrando o módulo:

||v|| = sqrt(1^2 + 2^2 + (- 2)^2 + 4 ²)

||v|| = sqrt(1 + 4 + 4 + 16) = sqrt(25) = 5

Então, o vetor normalizado é

hat v = ((1,2 , - 2,4))/(5)

hat v = ((1)/(5) , (2)/(5) , - (2)/(5) , (4)/(5))

Passo 4

c) w = ((1)/(2) , - (1)/(3) , (3)/(4))

O último, bora lá! Encontrando o módulo:

||w|| = sqrt(((1)/(2))^2 + (- (1)/(3))^2 + ((3)/(4))^2)

||w|| = sqrt((1)/(4) + (1)/(9) + (9)/(16))

Deixando tudo no mesmo denominador:

||w|| = sqrt((36)/(144) + (16)/(144) + (81)/(144))

||w|| = sqrt((133)/(144)) = (sqrt(133))/(12)

Então, o vetor normalizado é

hat w = (((1)/(2) , - (1)/(3) , (3)/(4)))/((sqrt(133))/(12))

hat w = ((6)/(sqrt(133)) , - (4)/(sqrt(133)) , (9)/(sqrt(133)))

E fimmm :D

Resposta

a) hat u = ((5)/(sqrt(74)) , - (7)/(sqrt(74)))

b) hat v = ((1)/(5) , (2)/(5) , - (2)/(5) , (4)/(5))

c) hat w = ((6)/(sqrt(133)) , - (4)/(sqrt(133)) , (9)/(sqrt(133)))