Se ρ é um número primo, mostre que é irredutível sobre ℚ o polinômio inteiro f definido por f x = 1 + x + x 2 + … + x p - 1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi seja ρ é um número primo, mostre que é irredutível sobre ℚ o polinômio inteiro f definido por f x = 1 + x + x 2 + … + x p - 1 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera se determinarmos como ρ um número primo irredutível, definido pelo polinômio,

f x = 1 + x + x 2 + … + x p - 1

Temos que f ( x ) pode ser definido por,

f x = x p - 1 x - 1

Ficando,

x p - 1 x - 1 = 1 + x + x 2 + … + x p - 1

Logo,

x p - 1 = ( 1 + x + x 2 + … + x p - 1 )

Determinando por fim que com o critério de Eisenstein com,

x p - 1 = ( x ,   x 2 ,   x 3 , … ,   x p - 2 )

Logo,

x p - 1 = x n - 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x p - 1 = x n - 2