Enunciado

Se n 2 + 2 é um número primo, prove que n é múltiplo de 3 ou n = 1.

Sugestão: Há três possibilidades de expressar um número inteiro n; n = 3q, n = 3q + 1, n = 3q + 2, conforme o resto da divisão de n por 3 seja 0, 1 ou 2. Mostre que as duas últimas são impossíveis, no caso.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Se tem sugestão é pra se utilizar vambora!

A sugestão nos diz que podemos escrever um inteiro n de 3 formas, então podemos escrever p das seguintes formas:

p = 3 q 2 + 2

p = 3 q + 1 2 + 2

p = 3 q + 2 2 + 2

Vamos trabalhar em cima de cada formato.

Passo 2

Começando com p = 3 q 2 + 2 , que é o mais fácil.

De cara conseguimos perceber que n | 3 , pois n = 3q. Assim, se p = n 2 + 1 é primo, então ou n é 1 ou n é múltiplo de três, como se queria demonstrar.

Passo 3

Para p = 3 q + 1 2 + 2 , vamos abrir a expressão:

p = 3 q + 1 2 + 2

p = 9 q 2 + 6 q + 3

p = 3 3 q 2 + 2 q + 1

Como p é primo, então 3 q 2 + 2 q + 1 = 1 . Porém, essa equação possui solução somente se q = 0. Então, n = 3 ⋅ 0 + 0 + 1 + 1 = 4 . O que torna a hipótese impossível.

Passo 4

Para o último caso, p = 3 q + 2 2 + 2 , vamos novamente abrir a expressão:

p = 3 q + 2 2 + 2

p = 9 q 2 + 12 q + 6

p = 3 3 q 2 + 4 q + 2

Como p é primo então 3 q 2 + 4 q + 2 = 1 , porem essa equação não apresenta solução presente no conjunto dos inteiros. Assim, essa hipótese esta descartada, pois os valores obtidos para q não resultariam em um n inteiro.

Resposta

Demonstração