Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Algebra Moderna - Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 30
Se é um número primo, prove que n é múltiplo de 3 ou n = 1.
Sugestão: Há três possibilidades de expressar um número inteiro n; n = 3q, n = 3q + 1, n = 3q + 2, conforme o resto da divisão de n por 3 seja 0, 1 ou 2. Mostre que as duas últimas são impossíveis, no caso.
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
Se tem sugestão é pra se utilizar vambora!
A sugestão nos diz que podemos escrever um inteiro n de 3 formas, então podemos escrever p das seguintes formas:
Vamos trabalhar em cima de cada formato.
Passo 2
Começando com , que é o mais fácil.
De cara conseguimos perceber que , pois n = 3q. Assim, se é primo, então ou n é 1 ou n é múltiplo de três, como se queria demonstrar.
Passo 3
Para , vamos abrir a expressão:
Como p é primo, então . Porém, essa equação possui solução somente se q = 0. Então, . O que torna a hipótese impossível.
Passo 4
Para o último caso, , vamos novamente abrir a expressão:
Como p é primo então porem essa equação não apresenta solução presente no conjunto dos inteiros. Assim, essa hipótese esta descartada, pois os valores obtidos para q não resultariam em um n inteiro.
Resposta
Demonstração