Um nutricionista está planejando uma refeição composta pelos alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeição deve fornecer exatamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de sistemas lineares.

O entendimento do enunciado para a escrita correta das equações lineares em problemas de planejamento da produção é a etapa crucial do problema. Baseando-se no exemplo 7 desta seção vamos escrever as equações lineares do exercício a resolver. Assumindo que x1, x2 e x3 são gramas dos alimentos A, B e C, respectivamente, teremos:

O número de unidades de proteína da refeição

2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 = 25

O número de unidades de gordura da refeição

3 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 24

O número de unidades de carboidratos da refeição

4 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 21

Passo 2

O sistema obtido é dado por:

2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 = 25         ( I ) 3 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 24         I I 4 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 21         ( I I I )

Aplicando o procedimento da regra de Cramer temos que o determinante da matriz incompleta é dado por:

D = 2 3 3 3 2 3 4 1 2 = 8 + 9 + 36 - 24 - 18 - 6 = 53 - 48 = 5

Os determinantes relacionados a cada variável são dados por:

D x 1 = 25 3 3 24 2 3 21 1 2 = 100 + 72 + 189 - 126 - 144 - 75 = 361 - 345 = 16

D x 2 = 2 25 3 3 24 3 4 2 1 2 = 96 + 189 + 300 - 288 - 150 - 126 = 585 - 564 = 21

D x 3 = 2 3 25 3 2 24 4 1 2 1 = 84 + 75 + 288 - 200 - 189 - 48 = 447 - 437 = 10

A partir dos resultados dos determinantes temos que:

x 1 = D x 1 D = 16 5 = 3,2 ; x 2 = D x 2 D = 21 5 = 4 , 2 ; e   x 3 = D x 3 D = 10 5 = 2

Resposta

3,2 gramas do alimento A; 4,2 gramas do alimento B; e 2 gramas do alimento C.