Obtenha equações da circunferência que passa pelos pontos A = ( 2 , - 2 , - 3 ) , B = ( 0,0 , - 3 ) e C = ( - 2,2 , - 1 ) .

Passo 1

E aí, gente? Para resolver essa questão, vamos começar com uma equação geral para uma circunferência

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = r 2

A x + B y + C z + D = 0

pois a circunferência surge da interseção de um plano com uma superfície esférica.

Agora vamos substituir os pontos A = ( 2 , - 2 , - 3 ) , B = ( 0,0 , - 3 ) e C = ( - 2,2 , - 1 ) .

Ponto A :

( 2 - a ) 2 + ( - 2 - b ) 2 + ( - 3 - c ) 2 = r 2

⇒ 4 - 4 a + a 2 + 4 + 4 b + b 2 + 9 + 6 c + c 2 = r 2

⇒ - 4 a + a 2 + 4 b + b 2 + 6 c + c 2 + 17 = r 2

2 A - 2 B - 3 C + D = 0

Ponto B :

( - a ) 2 + ( - b ) 2 + ( - 3 - c ) 2 = r 2

⇒ a 2 + b 2 + 9 + 6 c + c 2 = r 2

- 3 C + D = 0 ⇒ D = 3 C

Ponto C :

( - 2 - a ) 2 + ( 2 - b ) 2 + ( - 1 - c ) 2 = r 2

⇒ 4 + 4 a + a 2 + 4 - 4 b + b 2 + 1 + 2 c + c 2 = r 2

⇒ 4 a + a 2 - 4 b + b 2 + 2 c + c 2 + 9 = r 2

- 2 A + 2 B - C + D = 0

Passo 2

Comparando os resultados dos pontos A e B , temos

- 4 a + a 2 + 4 b + b 2 + 6 c + c 2 + 17 = a 2 + b 2 + 9 + 6 c + c 2

⇒ - 4 a + 4 b + 8 = 0

⇒ a = b + 2

2 A - 2 B - 3 C + 3 C = 0 ⇒ A = B

Agora, comparando os resultados dos pontos A e C , temos

- 4 a + a 2 + 4 b + b 2 + 6 c + c 2 + 17 = 4 a + a 2 - 4 b + b 2 + 2 c + c 2 + 9

⇒ - 8 a + 8 b + 4 c + 8 = 0

⇒ 2 a = 2 b + c + 2

- 2 A + 2 B - C + D = 0 ⇒ - C + 3 C = 0 ⇒ C = 0

O plano então assume a forma:

A x + A y = 0 ⇒ x + y = 0

Substituindo a = b + 2 , na equação acima,

⇒ 2 ( b + 2 ) = 2 b + c + 2

⇒ c = 2

Vamos substituir esses resultados na equação do ponto B :

⇒ a 2 + b 2 + 9 + 6 c + c 2 = r 2

⇒ ( b + 2 ) 2 + b 2 + 9 + 12 + 4 = r 2

⇒ b 2 + 4 b + 4 + b 2 + 25 = r 2

⇒ 2 b 2 + 4 b + 29 = r 2

Assim, a nossa equação da esfera se torna

( x - b - 2 ) 2 + ( y - b ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 2 b 2 + 4 b + 29

Passo 3

Como temos muitas esferas possíveis passando pelos três pontos, vamos considerar que o centro da circunferência coincide com o centro da esfera. Com isso, escolhemos uma esfera específica que satisfaz as condições do enunciado. Assim, C = ( b + 2 , b , 2 ) deve pertencer ao plano x + y = 0 :

x + y = 0 ⇒ b + 2 + b = 0 ⇒ b = - 1

Então, C = ( 1 , - 1,2 ) e b =   - 1 . Com isso, a superfície esférica é dada por:

( x - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 2 ⋅ 1 - 4 + 29 = 27

Resposta

( x - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 27

x + y = 0