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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Apêndice.III - Ex. 4

4. Obtenha as intersecções da parábola y 2 - 2 x = 0 com:

  1. a reta x = 1 ;
  2. a reta y = x ;
  3. a parábola y = x 2 ;
  4. a hipérbole x 2 - y 2 = 1 .

Passo 1

Fala, galerinha. Para obter as intercessões que são pedidas, só precisamos substituir o que é pedido em y 2 - 2 x = 0 . Vamos lá!

  1. Substituindo x = 1 em y 2 - 2 x = 0 , obtemos

    2. y 2 - 2 x = 0 ⇒ y 2 - 2 = 0

    ⇒ y = ± 2

    Como a abscissa já é x = 1 , então os pontos de interseção são ( 1 , ± 2 ) .

    Passo 2

  2. Agora vamos substituir y = x em y 2 - 2 x = 0 , com isso, vamos ter que

y 2 - 2 x = 0 ⇒ x 2 - 2 x = 0

⇒ x ( x - 2 )   =   0

⇒ x   =   0   o u   x = 2

Com isso, os pontos de interseção são: ( 0,0 ) , ( 2,2 )

Passo 2

c) Substituir a equação da parábola y = x 2 na parábola y 2 - 2 x = 0 é um pouco estranho mas confia, que vai dar certo.

y 2 - 2 x = 0 ⇒ ( x 2 ) 2 - 2 x = 0 ⇒ x 4 - 2 x = 0

⇒ X ( x 3 - 2 ) = 0

⇒ x = 0   o u   x = 2 3

Isso corresponde a y = x 2 = 0 ou a y = x 2 = 4 3 . Então, temos os pontos ( 0,0 ) , ( 2 3 , 4 3 ) .

Passo 3

d) Para finalizar temos a hipérbole x 2 - y 2 = 1 . Com isso, temos que

x 2 - y 2 = 1 ⇒ y = ± x 2 - 1

Daí, vamos substituir em y 2 - 2 x = 0 :

x 2 - 1 - 2 x ⇒ x = 2 ± 4 + 4 2

⇒ x = 2 ± 2 2 2 =   1 ± 2

Vamos escolher somente x = 1 + 2 porque, de acordo com a equação y 2 - 2 x = 0 , x deve ser positivo, já que y 2 ≥ 0 .

Ou seja,

y = ± (   1 + 2 ) 2 - 1 = ± 1 + 2 2     +   2 - 1   = ±   2 + 2 2

Por fim, os pontos de interseção são:

( 1 + 2 , ±   2 + 2 2   )

Resposta

  1. ( 1 , ± 2 )
  2. ( 0,0 ) , ( 2,2 )
  3.   ( 0,0 ) , ( 2 3 , 4 3 )
  4.   ( 1 + 2 , ± 2 + 2 2 )