Enunciado

  1. Obtenha uma representação de f ( x ) em série de potências utilizando a relação dada.

f ( x ) = a r g s h   x ; a r g s h   x = ∫ 0 x ( 1 / 1 + t 2 ) d t

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos estudar um pouquinho de Cálculo II?

Para conseguirmos fazer isso precisamos expandir a função no integrando utilizando a expansão binomial da forma:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Temos então que:

( 1 + x ' ) - 1 / 2 = 1   - 1 2 x ' + - 1 / 2 ( - 1 / 2 - 1 ) 2 x ' 2 + . . . + - 1 / 2 ( - 1 / 2 - 1 ) . . . ( - 1 / 2 - n + 1 ) n ! x ' n + . . . =

= 1   - 1 2 x ' + 3 8 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) ( - 3 ) . . . ( 1 - 2 n ) 2 n n ! x ' n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x’| x ' = t 2 , portanto:

( 1 + t 2 ) = 1   - 1 2 t 2 + 3 8 t 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) ( - 3 ) . . . ( 1 - 2 n ) 2 n n ! t 2 n

Que é a resposta que desejamos! No entanto, note que temos um raio de convergência dado por | x ' | < 1 → | t 2 | < 1 →   | t 2 | < 1 . Agora precisamos integrar para obter a função desejada. Bora lá!

Passo 2

Vamos realizar a integração:

f ( x ) =   a r g s h   x = ∫ 0 x ( 1   - 1 2 t 2 + 3 8 t 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) ( - 3 ) . . . ( 1 - 2 n ) 2 n n ! t 2 n ) d t =

Vou juntar alguns termos apenas por simplicidade, okay?

f ( x ) =   a r g s h   x = ∫ 0 x ( 1   + ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) ( - 3 ) . . . ( 1 - 2 n ) 2 n n ! t 2 n ) d t =

= x + ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) ( - 3 ) . . . ( 1 - 2 n ) 2 n ( 2 n + 1 ) n ! x 2 n + 1

Essaa é a alternativa a). Bora para a alternativa b).

Resposta

Ao longo do passo 2.