Orthogonally diagonalize the matrices in Exercises 13 – 22 , giving an orthogonal matrix P and a diagonal matrix D.

15. 3   4   4   9  

Passo 1

Oi oi galerinha! Parece um bicho de sete cabeças, né? Mas, pode ficar tranqüilo que existe um passo a passo bem simples para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica A   ∈   M n × n ( R ) !

Vamos começar calcule os autovalores λ 1 ,   . . . ,   λ n de A   e determinando uma base para cada espaço próprio de A .

Lembrando que em uma matriz quadrada ( n × n ) , λ   é um autovalor de A se, e somente se, d e t d e t   λ I - A   = 0 .

Então, temos que:

d e t d e t   λ I - A   = λ - 3   - 4   - 4   λ - 9   = λ - 3 λ - 9 - 16 = λ 2 - 12 λ + 11 = 0

λ = 11   o u   λ = 1

Agora chegou a hora que determinar as bases associadas a cada valor de autovalor que encontramos:

Por definição X = x 1   x 2   é um autovetor se, e somente se, X é uma solução não trivial de λ I - A = 0 , ou seja, de:

λ - 3   - 4   - 4   λ - 9   x 1   x 2   = 0   0  

Se λ = 11 , essa equação é dada por: 8   - 4   - 4   2   x 1   x 2   = 0   0  

8 x 1 - 4 x 2 = 0   e - 4 x 1 + 2 x 2 = 0  

Cuja solução geral é x 1 = t   e   x 2 = 2 t

Ou, em forma matricial x 1   x 2   = t   2 t   = t 1   2  

Assim, 1   2     é uma base do autoespaço associado a λ = 11 .

Se λ = 1 , essa equação é dada por: - 2   - 4   - 4   - 8   x 1   x 2   = 0   0  

- 2 x 1 - 4 x 2 = 0   e - 4 x 1 - 8 x 2 = 0  

Cuja solução geral é x 1 = - 2 t   e   x 2 = t ,

Ou, em forma matricial x 1   x 2   = - 2 t   t   = t - 2   1  

Assim, - 2   1     é uma base do autoespaço associado a λ = 1

Passo 2

Uma pausa só pra relembrar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt:

Para converter uma base { u 1 , u 2 , … , u r } numa base ortogonal { v 1 , v 2 , … , v r } efetue as etapas:

v 1 = u 1

v 2 = u 1 - 〈 u 2 , v 1 〉 | v 1 | 2 v 1

.

.

.

Continue até r etapas.

Agora temos que aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a cada base de cada de autoespaço de A.

Para λ = 11 ,     u 1 = v 1 = 1   2    

Vamos normalizar esse vetor?

v 1 v 1 = 1 5   2 5  

Agora repetimos o processo para λ = 1 : u 2 = v 2 = - 2   1  

Vamos normalizar esse vetor?

v 2 v 2 = - 2 5   1 5  

Finalmente, usando v 1 e v 2 como vetores coluna temos:

P = 1 5   - 2 5   2 5   1 5  

Encontramos a matriz que diagonaliza 3   4   4   9     ortogonalmente! Só falta encontrar a matriz diagonal D !

Passo 3

Sabemos que D = P T A P

Então: D = 1 5   2 5   - 2 5   1 5   3   4   4   9   1 5   - 2 5   2 5   1 5   = 11 5   22 5   - 2 5   1 5   1 5   - 2 5   2 5   1 5   = 11   0   0   1  

Resposta

P = 1 5   - 2 5   2 5   1 5   e D = 11   0   0   1