Orthogonally diagonalize the matrices in Exercises , giving an orthogonal matrix P and a diagonal matrix D.
15.
Passo 1
Oi oi galerinha! Parece um bicho de sete cabeças, né? Mas, pode ficar tranqüilo que existe um passo a passo bem simples para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica !
Vamos começar calcule os autovalores de e determinando uma base para cada espaço próprio de .
Lembrando que em uma matriz quadrada , é um autovalor de se, e somente se, .
Então, temos que:
Agora chegou a hora que determinar as bases associadas a cada valor de autovalor que encontramos:
Por definição é um autovetor se, e somente se, é uma solução não trivial de , ou seja, de:
Se , essa equação é dada por:
Cuja solução geral é
Ou, em forma matricial
Assim, é uma base do autoespaço associado a .
Se , essa equação é dada por:
Cuja solução geral é ,
Ou, em forma matricial
Assim, é uma base do autoespaço associado a
Passo 2
Uma pausa só pra relembrar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt:
Para converter uma base numa base ortogonal efetue as etapas:
Continue até etapas.
Agora temos que aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a cada base de cada de autoespaço de A.
Para
Vamos normalizar esse vetor?
Agora repetimos o processo para :
Vamos normalizar esse vetor?
Finalmente, usando e como vetores coluna temos:
Encontramos a matriz que diagonaliza ortogonalmente! Só falta encontrar a matriz diagonal !
Passo 3
Sabemos que
Então:
Resposta
e