Orthogonally diagonalize the matrices in Exercises 13 – 22 , giving an orthogonal matrix P and a diagonal matrix D.

15. 6 - 2 - 2 9

Passo 1

Oi oi galerinha! Parece um bicho de sete cabeças, né? Mas, pode ficar tranqüilo que existe um passo a passo bem simples para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica A   ∈   M n × n ( R ) !

Vamos começar calcule os autovalores λ 1 ,   . . . ,   λ n de A   e determinando uma base para cada espaço próprio de A .

Lembrando que em uma matriz quadrada ( n × n ) , λ   é um autovalor de A se, e somente se, det ⁡ λ I - A = 0 .

Então, temos que:

det ⁡ λ I - A = λ - 6 2 2 λ - 9 = λ - 6 λ - 9 - 4 = λ 2 - 1 5 λ + 50 = 0

λ = 1 0   o u   λ = 5

Agora chegou a hora que determinar as bases associadas a cada valor de autovalor que encontramos:

Por definição X = x 1 x 2 é um autovetor se, e somente se, X é uma solução não trivial de λ I - A = 0 , ou seja, de:

λ - 6 2 2 λ - 9 x 1 x 2 = 0 0

Se λ = 10 , essa equação é dada por: 4 2 2 1 x 1 x 2 = 0 0

4 x 1 + 2 x 2 = 0   e   2 x 1 + x 2 = 0  

Cuja solução geral é x 1 = t   e   x 2 = - 2 t

Ou, em forma matricial x 1 x 2 = t - 2 t = t 1 - 2

Assim, 1 - 2   é uma base do autoespaço associado a λ = 1 0 .

Se λ = 5 , essa equação é dada por: - 1 2 2 - 4 x 1 x 2 = 0 0

- x 1 + 2 x 2 = 0   e   2 x 1 - 4 x 2 = 0  

Cuja solução geral é x 1 = 2 t   e   x 2 = t ,

Ou, em forma matricial x 1 x 2 = 2 t t = t 2 1

Assim, 2 1   é uma base do autoespaço associado a λ = 5

Passo 2

Uma pausa só pra relembrar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt:

Para converter uma base { u 1 , u 2 , … , u r } numa base ortogonal { v 1 , v 2 , … , v r } efetue as etapas:

v 1 = u 1

v 2 = u 1 - u 2 , v 1 | v 1 | 2 v 1

.

.

.

Continue até r etapas.

Agora temos que aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a cada base de cada de autoespaço de A.

Para λ = 1 0 ,     u 1 = v 1 = 1 - 2  

Vamos normalizar esse vetor?

v 1 v 1 = 1 5 - 2 5

Agora repetimos o processo para λ = 5 : u 2 = v 2 = 2 1

Vamos normalizar esse vetor?

v 2 v 2 = 2 5 1 5

Finalmente, usando v 1 e v 2 como vetores coluna temos:

P = 1 5 2 5 - 2 5 1 5

Encontramos a matriz que diagonaliza 6 - 2 - 2 9   ortogonalmente! Só falta encontrar a matriz diagonal D !

Passo 3

Sabemos que D = P T A P

Então: D = 1 5 - 2 5 2 5 1 5   6 - 2 - 2 9 1 5 2 5 - 2 5 1 5 = 2 5 - 4 5 2 5 5 1 5 2 5 - 2 5 1 5 = 1 0 0 0 5

Resposta

P = 1 5 2 5 - 2 5 1 5 e D = 1 0 0 0 5