Num país politicamente instável 30% dos defensores da república passam a apoiar a monarquia a cada ano e 20% dos defensores da monarquia passa a apoiar a república a cada ano. Portanto, denotando por rk e mk o número de republicanos e monarquistas, respectivamente, a cada ano k, temos que rk+1 = 70%rk+20%mk e mk+1 = 30%rk+80%mk. Utilizando matrizes,
(a) Calcule a decomposição espectral de
(b) Sabendo que hoje metade da população apoia a república, em 10 anos qual será o percentual que apóia a república?
(c) A longo prazo qual será o percentual de republicanos e monarquistas? Note que isto independe do percentual inicial.
Passo 1
a) O que é esse tal de decomposição espectral? Consiste em colocar a matriz na condição que satisfaça uma matriz é diagonalizável, ou seja, se existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que . Sendo assim, temos:
- D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
- P é a matriz composta dos autovetores
- é a inversa de P
Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!
Passo 2
O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)
Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=1/2 e λ=1. Portanto a matriz
Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:
Para λ=1/2 é gerado o autovetor (-1,1) e λ=1 gera-se (1,3/2).
Sabendo que X é justamente os autovetores, então e
Portanto
Passo 3
b) Aqui no item B, nós fazemos a seguinte consideração . Portanto,
Logo,
Passo 4
c) E por fim, no item C é importante interpretar queee .
Portanto, se inicialmente são republicanos e monarquistas, serão 0,4( republicanos, sendo 40% republicanos e 60% monarquistas independente quantos republicanos e monarquistas!