Num país politicamente instável 30% dos defensores da república passam a apoiar a monarquia a cada ano e 20% dos defensores da monarquia passa a apoiar a república a cada ano. Portanto, denotando por rk e mk o número de republicanos e monarquistas, respectivamente, a cada ano k, temos que rk+1 = 70%rk+20%mk e mk+1 = 30%rk+80%mk. Utilizando matrizes,

(a) Calcule a decomposição espectral de

(b) Sabendo que hoje metade da população apoia a república, em 10 anos qual será o percentual que apóia a república?

(c) A longo prazo qual será o percentual de republicanos e monarquistas? Note que isto independe do percentual inicial.

Passo 1

a) O que é esse tal de decomposição espectral? Consiste em colocar a matriz na condição que satisfaça uma matriz é diagonalizável, ou seja, se existe uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P - 1 . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P - 1 é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

Passo 2

O próximo passo vai ser obter os autovalores, aplicando det(A-λI)

0.7   0.2   0.3   0.8  

Desenvolvendo a matriz, teremos como raízes e autovalores λ=1/2 e λ=1. Portanto a matriz D = 1 / 2   0   0   1  

Tranquilo tranquilo, o próximo passo é obter os autovetores, substituindo cada autovalor na matriz, assim:

Para λ=1/2 é gerado o autovetor (-1,1) e λ=1 gera-se (1,3/2).

Sabendo que X é justamente os autovetores, então P = - 1   1   1   3 / 2   e P - 1 = - 3   2   1 [ 2   2  

Portanto A = - 1   1   1   3 / 2   1 / 2   0   0   1   - 3   2   1 [ 2   2  

Passo 3

b) Aqui no item B, nós fazemos a seguinte consideração r 10   m 10   = A 10 1 / 2   1 / 2   . Portanto,

A 10 = P 1 2 10   0   0   1   P - 1 = 1 5 * 2 10 2051   2046   3069   3074  

Logo, r 10 = 4097 10240 = 40 %

Passo 4

c) E por fim, no item C é importante interpretar queee P 0   0   0   1   P - 1 =   0.4   0.4   0.6   0.6   .

Portanto, se inicialmente são r 0 republicanos e m 0 monarquistas, serão 0,4( r 0 + m 0 ) republicanos, sendo 40% republicanos e 60% monarquistas independente quantos republicanos e monarquistas!

Resposta

a )   - 1   1   1   3 / 2   1 / 2   0   0   1   - 3   2   1 [ 2   2  

b )   r 10 = 40 %

c )   40 %   r e p u b l i c a n o s   e   60 %   m o n a r q u i s t a s