A B C D é um paralelogramo. A B →   =   a → e A D → = b → . O ponto X é tal que 3 A X → = 2 X B → e Y é tal que B Y → = 3 C Y → .

  1. Desenhe o paralelogramo e marque os pontos X e Y na figura.
  2. Escreva X Y → em função de a → e b → .
  3. Se X Y → = u → e A X → = v → , escreva b → em função de u → e v → .

Passo 1

  1. Galera, antes de mais nada, temos que lembrar que num paralelogramo os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento. Esse detalhe vai ser importante durante a resolução. As dimensões e ângulos internos não importam muito contando que essas propriedades sejam satisfeitas. Então, você pode desenhar o seu paralelogramo preferido sem problemas:
  2. Para marcar X e Y na figura, temos que usar 3 A X → = 2 X B → e B Y → = 3 C Y → para calcular

    A B → = A X → + X B → = A X → + 3 2 A X → = 5 2 A X → ⇒ A X → = 2 5 A B →

    B C → = B Y → + Y C → = B Y → - C Y → = 3 C Y → - C Y → = 2 C Y → ⇒ C Y → = 1 2 B C →

    Com isso, concluímos que X está a dois quintos do segmento ligando A a B e Y está a metade do segmento ligando B a C . Assim, podemos marcar esses pontos no paralelogramo:

    Passo 2

  3. Agora, vamos escrever X Y → em função de a → e b → :
  4. X Y → = X B → + B Y → = ( X A → + A B → ) + ( B C → + C Y → ) = ( - A X → + A B → ) + ( B C → + C Y → )

    X Y → = ( - 2 5 A B → + A B → ) + ( B C → + 1 2 B C → ) = 3 5 A B → + 3 2 B C → = 3 5 A B → + 3 2 A D →

    X Y → = 3 5 a → + 3 2 b →

    Ufa! Essas contas foram um pouquinho longas, mas finalmente chegamos ao resultado. Na primeira linha, nós fizemos algumas decomposições para tentar obter os vetores que já conhecemos. Na segunda linha, substituímos os resultados do Passo 1, organizamos os vetores e, por fim, utilizamos a propriedade do paralelogramo de que lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento B C → = A D → . Na terceira linha, substituímos A B →   =   a → e A D → = b → .

    Passo 3

  5. Nesse item, temos que escrever b → em função de X Y → = u → e A X → = v → :

b → = A D → = A X → + X Y → + Y C → + C D → = A X → + X Y → - C Y → - A B → = A X → + X Y → - 1 2 B C → - 5 2 A X →

b → = A D → = A X → + X Y → - 1 2 A D → - 5 2 A X →

Na primeira linha, fizemos a soma de vetores e utilizamos os resultados C Y → = 1 2 B C → e A X → = 2 5 A B → . Na segunda linha, utilizamos a propriedade do paralelogramo A D → = B C → . Assim, ficamos com

A D → = A X → + X Y → - 1 2 A D → - 5 2 A X → ⇒ 3 2 A D → = X Y → - 3 2 A X →

A D → = 2 3 X Y → - A X → ⇒ b → = 2 3 u → - v →

Resposta

b) X Y → = 3 5 a → + 3 2 b →

c) b → = 2 3 u → - v →