Uma partícula está animada de um movimento tal que, no instante t, ela se encontra no ponto

x , y = ( 1 + 2 cos ⁡ t   ,   2 + 2 sin ⁡ t )

a) Descreva sua trajetória.

b) Verifique que sua velocidade no instante t

v t = ( - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t )    

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele diz que uma partícula está aninhada de um movimento tal que no instante t elas se encontram no ponto,

x , y = ( 1 + 2 cos ⁡ t   ,   2 + 2 sin ⁡ t )

Com isso ele pede para,

a) Descreva sua trajetória.

b) Verifique que sua velocidade no instante t

Passo 2

Sendo a equação paramétrica,

x t = 1 + 2 cos ⁡ t y t = 2 + 2 sin ⁡ t

Na letra (a), isolando sin ⁡ t   e cos ⁡ t ficando,

cos ⁡ t = x - 1 2       e   sin ⁡ t = y - 2 2

Para relação trigonométrica fundamental tendo,

cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1

x - 1 2 2 + y - 2 2 2 = 1

x - 1 2 2 + y - 2 2 2 = 1 → x - 1 2 + y - 2 2 = 4

A trajetória da circunferência vai ser raio 2 no sentido anti-horário

Passo 3

Já ne letra (b) o vetor velocidade de uma curva parametrizada é obtido derivando as componentes da curva que fica,

v - t = γ ' t = d d x t , d d y ( t )

v - t = γ ' t = d d x 1 + 2 cos ⁡ t , d d y ( 2 + 2 sin ⁡ t   )

v - t = γ ' t = ( - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t )

Resposta

  1. x - 1 2 + y - 2 2 = 4
  2. A trajetória da circunferência vai ser raio 2 no sentido anti-horário

  3. v - t = γ ' t = ( - 2 sin ⁡ t ,   2 cos ⁡ t )