Pense na relação S em Z × Z * definidas por:

(a,b)S(c,d) se, e somente se, ad=bc

Prove que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!

Dado a , b ∈ Z × Z * , temos que a b = a b , então a , b R ( a , b ) , o que prova que ela é reflexiva.

Passo 2

Dado a , b   e   ( c , d ) ∈ Z × Z * com a , b R ( c , d ) , então:

a b = c d

Se subtrairmos a b de ambos os membros da igualdade, temos:

a b - a b = c d - a b

0 = c d + - a b

Vamos subtrair agora c d de ambos os membros:

- c d = c d + - a b - ( c d )

- c d = - a b

Multiplicando ambos os lados por -1:

- c d = - a b   × - 1

c d = a b

Isso implica que c , d R ( a , b ) , e assim está provada a simetria.

Passo 3

E a transitividade é provada tomando a , b   ,   c , d e   ( e , f ) ∈ Z × Z * com a , b R ( c , d ) e c , d R ( e , f ) , então:

a b = c d e c d = e f

a b = e f

⇒ a , b R e , f

E está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

Resposta

Demonstração