Pense na relação T sobre C definida por ( x + y i ) T ( z + t i ) se, e somente se ,   x 2 + y 2 = z 2   +   t 2   com x, y, z e t reais.

a) Prove que T é uma relação de equivalência.

b) Descreva a classe   1 + i -

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Tomando α = w + s i , para todo α ∈ C , a relação é válida:

      w 2 + s 2 = w 2 + s 2

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado x + y i   e   z + t i ∈ C com ( x + y i ) T ( z + t i ) , então:

    x 2 + y 2 = z 2 + t 2

    Subtraindo ( x 2 + y 2 ) de ambos os lados:

    x 2 + y 2 - x 2 + y 2 = z 2 + t 2 - x 2 + y 2

    0 = z 2 + t 2 + ( - x 2 - y 2 )

    Subtraindo ( z 2 + t 2 ) de ambos os lados:

    0 = z 2 + t 2 + ( - x 2 - y 2 )

    - z 2 + t 2 = z 2 + t 2 + - x 2 - y 2 - z 2 + t 2

    - z 2 + t 2 = - x 2 + y 2

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    - z 2 + t 2 = - x 2 + y 2                     × - 1

    ⇒ z 2 + t 2 = x 2 + y 2

    Dessa forma, implica em z + t i T ( x + y i ) e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando x + y i , z + t i , ( w + s i ) ∈ C com ( x + y i ) T ( z + t i ) e ( z + t i ) T ( w + s i ) , então:

    x 2 + y 2 = z 2 + t 2   e   z 2 + t 2 = w 2 + s 2

    ⇒ x 2 + y 2 = w 2 + s 2

    E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. Sabemos que um número complexo elevado ao quadrado é a soma dos quadrados, portanto, a classe indicada no item será do tipo:

1 + 1 i - = { ( x + y i ) ∈ C │ x 2 + y 2 = 1 2 + 1 2 }

Bora pro próximo!

Resposta

  1. Demonstração
  2. 1 + 1 i - = { ( x + y i ) ∈ C │ x 2 + y 2 = 1 2 + 1 2 }