Pense na relação T sobre C definida por se, e somente se com x, y, z e t reais.
a) Prove que T é uma relação de equivalência.
b) Descreva a classe
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- Sabemos que um número complexo elevado ao quadrado é a soma dos quadrados, portanto, a classe indicada no item será do tipo:
Tomando , para todo , a relação é válida:
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dessa forma, implica em e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e , então:
E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
Bora pro próximo!
Resposta
- Demonstração