O plano é determinado por , e . Ache uma equação do plano , paralelo ao plano , tal que , sendo . (O plano é o simétrico de em relação a .) Dê equações paramétricas da reta , projeção ortogonal da reta sobre o plano .
Passo 1
Fala pessoal, essa questão é muito simples. Só precisamos fazer o seguinte passo a passo:
Vamos tomar o ponto como referência. Então, para o ponto qualquer localizado no plano, temos:
E também temos outros dois vetores de base para se localizar o plano . São eles:
Pronto, como pertence ao plano só precisamos calcular o determinante desses três vetores e igualar a zero, pois são l.d. :
e com isso temos nosso plano
Passo 2
Uma informação importante é de que é paralelo a . Ou seja, os dois possuem o vetor normal no mesmo sentido. Daí,
Para acharmos o valor de , vamos utilizar o fato de que , sendo . Então,
Mas, já corresponde ao plano . Logo,
Passo 3
Vamos começar escrevendo as equações paramétricas da reta usando e :
O vetor normal do plano é , então
Com isso, vemos que o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal ao plano, ou seja, a reta é paralela ao plano.
Bom, se a reta é projeção da reta então, o vetor diretor de e de serão no mesmo sentido. Logo, e podemos escrever a seguinte equação paramétrica para :
Agora, só precisamos de um ponto que pertença a reta. Para isso, vamos pegar uma projeção ortogonal do ponto no plano , que chamaremos de . Temos
Esse vetor é perpendicular ao plano , então ele é paralelo ao vetor normal desse plano:
Assim, temos o sistema de equações
Usando , obtemos , . Então, como o ponto
pertence ao plano , então ele deve satisfazer a equação desse plano:
Agora, temos um ponto da reta , que é e o vetor diretor da reta dado por e podemos escrever a seguinte equação paramétrica para :