O plano π é determinado por A = ( 1,1 , 0 ) , B = ( 0,2 , 1 ) e C = ( 0,0 , 3 ) . Ache uma equação do plano α , paralelo ao plano π , tal que d ( α ,   P ) = d ( π , P ) , sendo P   =   ( 5,3 , 2 ) . (O plano α é o simétrico de π em relação a P .) Dê equações paramétricas da reta r , projeção ortogonal da reta A B sobre o plano α .

Passo 1

Fala pessoal, essa questão é muito simples. Só precisamos fazer o seguinte passo a passo:

Vamos tomar o ponto A = ( 1,1 , 0 ) como referência. Então, para o ponto qualquer X = ( x , y , z ) localizado no plano, temos:

A X → = X - A = ( x - 1 , y - 1 , z )

E também temos outros dois vetores de base para se localizar o plano π . São eles:

A B →   = B - A = ( - 1,1 , 1 )

A C → = C - A = ( - 1 , - 1,3 )

Pronto, como X pertence ao plano π só precisamos calcular o determinante desses três vetores e igualar a zero, pois são l.d. :

⎜         x - 1               y - 1                 z   ⎜

⎜   - 1                                 1                             1   ⎜ = 0   ⇒   ( x - 1 ) ⋅ 4   - ( y - 1 ) ⋅ ( - 2 ) + z ⋅ 2   =   0

⎜   - 1                   - 1                             3   ⎜

⇒   4 x - 4   + 2 y - 2 + 2 z   =   0

⇒   4 x + 2 y + 2 z   - 6 =   0

⇒   2 x + y + z   - 3 =   0

e com isso temos nosso plano π :   2 x + y + z   - 3 =   0

Passo 2

Uma informação importante é de que α é paralelo a π . Ou seja, os dois possuem o vetor normal no mesmo sentido. Daí,

α :   2 x + y + z   + d =   0

Para acharmos o valor de d , vamos utilizar o fato de que d ( α ,   P ) = d ( π , P ) , sendo P   =   ( 5,3 , 2 ) . Então,

| 2   ⋅   5   +   1   ⋅   3   +   1   ⋅   2   - 3   | 4 + 1 + 1   =   | 2   ⋅   5   +   1   ⋅   3   +   1   ⋅   2   +   d   | 4 + 1 + 1

⇒ | 10 + 3   + 2   - 3   |   = | 10 + 3   + 2 + d   |  

⇒ | d + 15   |   =   12  

- d - 15   = 12 ⇒ d = - 27   o u   d + 15 = 12 ⇒ d = - 3  

Mas, d = - 3 já corresponde ao plano π . Logo,

α :   2 x + y + z   - 27 =   0

Passo 3

Vamos começar escrevendo as equações paramétricas da reta A B usando A = ( 1,1 , 0 ) e A B →   = ( - 1,1 , 1 ) :

x = 1 - t , y = 1 + t , z = t

O vetor normal do plano é n → = ( 2,1 , 1 ) , então

A B → ⋅ n → = ( - 1,1 , 1 ) ⋅ ( 2,1 , 1 ) = - 2 + 1 + 1 = 0

Com isso, vemos que o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal ao plano, ou seja, a reta é paralela ao plano.

Bom, se a reta é projeção da reta A B então, o vetor diretor de A B e de r serão no mesmo sentido. Logo, v → r   = v → A B   = ( - 1,1 , 1 ) e podemos escrever a seguinte equação paramétrica para r :

R   = ( a - m ,   b + m ,   c + m )

Agora, só precisamos de um ponto que pertença a reta. Para isso, vamos pegar uma projeção ortogonal do ponto A no plano α , que chamaremos de A ' = ( a , b , c ) . Temos

A A ' → = A ' - A = ( a , b , c ) - ( 1,1 , 0 ) = ( a - 1 , b - 1 , c )

Esse vetor é perpendicular ao plano α , então ele é paralelo ao vetor normal desse plano:

( a - 1 , b - 1 , c )   =   λ ( 2,1 , 1 )

Assim, temos o sistema de equações

a = 1 + 2 λ

b = 1   + λ

c = λ

Usando c = λ , obtemos a = 1 + 2 c , b = 1 + c . Então, como o ponto

A ' = ( a , b , c ) = ( 1 + 2 c , 1 + c , c )

pertence ao plano α , então ele deve satisfazer a equação desse plano:

α :   2 x + y + z   - 27 =   0

⇒   2 ⋅ ( 1 + 2 c )   +   1 + c + c =   27

⇒   2 + 4 c + 1 + 2 c =   27

⇒   6 c =   24

⇒   c = 4

Agora, temos um ponto da reta r , que é A ' = ( 1 + 2 c , 1 + c , c ) = ( 9,5 , 4 ) e o vetor diretor da reta dado por v → r   = ( - 1,1 , 1 ) e podemos escrever a seguinte equação paramétrica para r :

r { x = 9 - m ,   y = 5 + m ,   z   =   4 + m

Resposta

α :   2 x + y + z   - 27 =   0

r { x = 9 - m ,   y = 5 + m ,   z   =   4 + m