Os pontos A , B , C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. A = ( 3 , - 4,7 ) , B = ( - 5,3 , - 2 ) e C = ( 1,2 , - 3 ) .

  1. Determine as coordenadas do quarto vértice .
  2. Escreva equações paramétricas das retas que contêm as diagonais A C ̄ e B D ̄ .
  3. Ache as interseções das duas retas acima, resolvendo um sistema. (Se o resultado não for o ponto médio das duas diagonais, você cometeu algum erro.)

Passo 1

  1. E aí, pessoal? Como temos um paralelogramo, então os lados opostos devem ser paralelos, ou seja, A D → = B C → . Podemos calcular esses vetores usando A D → = D - A e B C → = C - B . Assim,
  2. A D → = B C → ⇒ D - A = C - B

    ⇒ D = C - B + A = ( 1,2 , - 3 ) - ( - 5,3 , - 2 ) + ( 3 , - 4,7 )

    ⇒ D = ( 9 , - 5,6 )

    Passo 2

  3. Os vetores A C → , B D → dão as direções das retas que contêm as diagonais, ou seja, são os vetores diretores. Então
  4. A C → = C - A = ( 1,2 , - 3 ) - ( 3 , - 4,7 ) = ( - 2,6 , - 10 )

    B D → = D - B = ( 9 , - 5,6 ) - ( - 5,3 , - 2 ) = ( 14 , - 8,8 )

    Usando o ponto A = ( 3 , - 4,7 ) como ponto inicial da primeira reta e B = ( - 5,3 , - 2 ) para a segunda, obtemos as seguintes equações paramétricas:

    A C :   x = 3 - 2 m ,   y = - 4 + 6 m ,   z = 7 - 10 m

    B D :   x = - 5 + 14 n ,   y = 3 - 8 n ,   z = - 2 + 8 n

    Passo 3

  5. Vamos seguir a sugestão do livro e igualar as equações paramétricas das duas retas para tentar encontrar o ponto de intercessão:

x = 3 - 2 m = - 5 + 14 n

y = - 4 + 6 m = 3 - 8 n

  z = 7 - 10 m = - 2 + 8 n

Vamos multiplicar a primeira equação por 3 e somar com a segunda:

3 x + y = 9 - 6 m - 4 + 6 m = - 15 + 42 n + 3 - 8 n

⇒ 5 = - 12 + 34 n

⇒ 34 n = 17

⇒ n = 1 2

Agora, vamos substituir n = 1 2 na equação de y :

y = - 4 + 6 m = 3 - 8 ⋅ 1 2

⇒ 6 m = 3 - 4 + 4 = 3

⇒ m = 1 2

Os resultados n = m = 1 2 já indicam que encontramos o ponto médio. Agora, vamos substituir n = 1 2 na reta B D :

B D :   x = - 5 + 14 n = - 5 + 14 ⋅ 1 2 = 2 ,

y = 3 - 8 n = 3 - 8 ⋅ 1 2 = - 1 ,

z = - 2 + 8 n = - 2 + 8 ⋅ 1 2 = - 2 + 4 = 2

Logo, o ponto de interseção é P = ( 2 , - 1,2 ) .

Resposta

  1. D = ( 9 , - 5,6 )
  2. A C :   x = 3 - 2 m ,   y = - 4 + 6 m ,   z = 7 - 10 m
  3. B D :   x = - 5 + 14 n ,   y = 3 - 8 n ,   z = - 2 + 8 n

  4. P = ( 2 , - 1,2 )