Os pontos A ,   B ,   C e D são vértices de um tetraedro. O ponto P é tal que P B → + P C → + P D → = A M → , onde M é o ponto médio de C D ̄ . Sendo A B → = b → , A C → = c → e A D → = d → , pede-se o vetor A P → em função de b → , c →   e d → .

Passo 1

Galera, o raciocínio para essa questão vai ser o seguinte: vamos tentar escrever cada um dos vetores P B → , P C → , P D → , A M → em termos de b → , c →   , d → e A P → ; depois vamos substituir os resultados na expressão P B → + P C → + P D → = A M → e resolver para A P → . Entenderam o plano? Então vamos lá!

P B → = P A → + A B → = - A P → + A B → = - A P → + b →

P C → = P A → + A C → = - A P → + A C → = - A P → + c →

P D → = P A → + A D → = - A P → + A D → = - A P → + d →

Como M é o ponto médio de C D ̄ , podemos usar o resultado do Exercício Resolvido 3, Capítulo 1, para obter

A M → = 1 2 A C → + 1 2 A D → = 1 2 c + 1 2 d →

Passo 2

Agora, vamos substituir os resultados do Passo 1 na expressão:

P B → + P C → + P D → = A M →

⇒ - A P → + b → - A P → + c → - A P → + d → = 1 2 d → + 1 2 c →

⇒ - 3 A P → = - b → - 1 2 d → - 1 2 c →

⇒ A P → = 1 3 b → + 1 6 d → + 1 6 c →

Bom trabalho, gente!

Resposta

A P → = 1 3 b → + 1 6 d → + 1 6 c →