Enunciado

Uma população estável de 35000 pássaros vive em três ilhas. Cada ano, 10% da população da ilha A migram para a ilha B, 20% da população da ilha B migram para a ilha C e 5% da população da ilha C migram para a ilha A. Denotemos por A n , B n e C n , no ano n antes da ocorrência da migração.

  1. Mostre que

A n + 1 = 0,9 A n + 0,05 C n

B n + 1 = 0,1 A n + 0,8 B n

e

C n + 1 = 0,95 C n + 0,2 B n

Passo 1

Eaew, tudo bem? Está no ânimo para mais uma questãozinha?

Demonstrar as expressões pedidas deve partir de uma análise lógica. Vamos considerar valores iniciais como A 0 + B 0 + C 0 = 35000 . Consideremos as seguintes sequências estabelecidas tendo em vista a migração das aves:

A = { A 0 , A 1 = 0,05 C 0 - 0,1 A 0 ,   A 2 = 0,05 C 1 - 0,1 A 1 ,   . . .   , A n = 0,05 C n - 1 - 0,1 A n - 1 }

Ou seja, no primeiro ano n = 1 , temos que 5% da população inicial de aves em C migraram para A, e 10% das aves inicialmente em A migraram para B, assim por diante. Analogamente para as outras ilhas podemos escrever:

B = { B 0 ,   B 1 = 0,1 A 0 - 0,2 B 0 ,   B 2 = 0,1 A 1 - 0,2 B 1 ,   . . .   , B n = 0,1 A n - 1 - 0,2 B n - 1 }

e

C = { C 0 ,   C 1 = 0,2 B 0 - 0,05 A 0 ,   C 2 = 0,2 B 1 - 0,05 C 1 ,   . . .   , C n = 0,2 B n - 1 - 0,05 C n - 1 }

Portanto, agora só precisamos utilizar as três sequências acima para construirmos o que nos foi pedido, bora lá?

Passo 2

Falta pouco agora, vamos lá, utilizando as relações para A n , B n e C n que sugerimos acima para escrever o que o enunciado nos pede:

A n + 1   =   0,05 C n - 0,1 A n

Um pouquinho diferente né? Mas note que:

Se A n - 0,1 A n = 0,9 A n = P á s s a r o s   q u e   f i c a r a m   n a   i l h a   A , ou seja:

A n + 1   =   0,05 C n + 0,9 A n

As outras duas equações podem ser analisadas da mesma forma lembrando que B n - 0,2 B n = 0,8 B n e que C n - 0,05 C n = 0,95 C n , para escrevermos em termos dos pássaros que permaneceram nas ilhas, temos então:

B n + 1   =   0,1 A n + 0,8 B n

e

C n + 1   =   0,2 B n + 0,95 C n

Essa foi nossa alternativa a), bora para a b).

Resposta

Ao longo do passo 2.