Uma população estável de 35000 pássaros vive em três ilhas. Cada ano, 10% da população da ilha A migram para a ilha B, 20% da população da ilha B migram para a ilha C e 5% da população da ilha C migram para a ilha A. Denotemos por , e , no ano antes da ocorrência da migração.
b) Supondo que o , e existam, dê uma aproximação do número de pássaros em cada ilha após muitos anos.
Passo 1
Vamos continuar então! Precisamos utilizar as três expressões obtidas na questão anterior para analisar um limite onde , ou seja, depois de muitos anos! Note que ter pássaros que passam de uma ilha para outra nos leva a uma convergência no número de pássaros em cada uma delas, que vamos definir como:
Essas três relações obedecem um vínculo dado pela estabilidade de número de pássaros, dado por:
Como esta é uma série convergente (O limite dela nos leva à um valor finito), podemos dizer com segurança que , e isso nos permite fazer algumas simplificações, dá uma olhada no próximo passo!
Passo 2
Vamos aplicar o limite de muuuuitos anos nas expressões que obtemos na alternativa a), isso nos dá:
e
A passagem final nas equações 2, 3 e 4 pode ser utilizado para obter um valor numérico para qualquer um dos limites A, B e C (que nos dá o número final de pássaros em uma ilha), no próximo passo vou fazer isso para a ilha A, você pode fazer com qualquer uma que quiser, segue comigo.
Passo 3
Utilizando então as expressões 2 e 3 na equação 1, temos:
Portanto, temos que:
Agora, podemos utilizar as equações 2 e 3, para achar as informações que faltam, belezinha? Temos que:
Esta é a nossa resposta final! Mais uma questão resolvida! Vitória! Uff! Te vejo na próxima!