Uma população estável de 35000 pássaros vive em três ilhas. Cada ano, 10% da população da ilha A migram para a ilha B, 20% da população da ilha B migram para a ilha C e 5% da população da ilha C migram para a ilha A. Denotemos por A n , B n e C n , no ano n antes da ocorrência da migração.

b) Supondo que o l i m n → ∞ A n , l i m n → ∞ B n e l i m n → ∞ C n existam, dê uma aproximação do número de pássaros em cada ilha após muitos anos.

Passo 1

Vamos continuar então! Precisamos utilizar as três expressões obtidas na questão anterior para analisar um limite onde n → ∞ , ou seja, depois de muitos anos! Note que ter pássaros que passam de uma ilha para outra nos leva a uma convergência no número de pássaros em cada uma delas, que vamos definir como:

l i m n → ∞ A n = A ,

l i m n → ∞ B n = B ,

l i m n → ∞ C n = C .

Essas três relações obedecem um vínculo dado pela estabilidade de número de pássaros, dado por:

A + B + C = 35000           ( 1 )

Como esta é uma série convergente (O limite dela nos leva à um valor finito), podemos dizer com segurança que l i m n → ∞   A n + 1 ≈ l i m n → ∞ A n = A , e isso nos permite fazer algumas simplificações, dá uma olhada no próximo passo!

Passo 2

Vamos aplicar o limite de muuuuitos anos nas expressões que obtemos na alternativa a), isso nos dá:

l i m n → ∞ A n + 1   = l i m n → ∞   0,05 C n + l i m n → ∞   0,9 A n → A - 0,9 A = 0,05 C → 0,1 A = 0,05 C           ( 2 )

l i m n → ∞ B n + 1 = l i m n → ∞   0,1 A n + l i m n → ∞   0,8 B n → B - 0,8 B = 0,1 A → 0,2 B = 0,1 A           ( 3 )

e

l i m n → ∞ C n + 1   = l i m n → ∞   0,2 B n + l i m n → ∞   0,95 C n → C - 0,95 C = 0,2 B → 0,05 C = 0,2 B           ( 4 )

A passagem final nas equações 2, 3 e 4 pode ser utilizado para obter um valor numérico para qualquer um dos limites A, B e C (que nos dá o número final de pássaros em uma ilha), no próximo passo vou fazer isso para a ilha A, você pode fazer com qualquer uma que quiser, segue comigo.

Passo 3

Utilizando então as expressões 2 e 3 na equação 1, temos:

A + 0,1 0,2 A + 0,1 0,05 A = 35000   →   A + 0,5 A + 2 A = 35000 → 3,5 A = 35000

Portanto, temos que:

A   =   35000 / 3,5   →   A   =   10000   p á s s a r o s .

Agora, podemos utilizar as equações 2 e 3, para achar as informações que faltam, belezinha? Temos que:

C = 0,1 0,05 A = 2 A = 20000   p á s s a r o s    

B = 0,1 0,2 A = 0,5 A = 5000   p á s s a r o s    

Esta é a nossa resposta final! Mais uma questão resolvida! Vitória! Uff! Te vejo na próxima!

Resposta

A   =   10000 ;   B = 5000   e   C = 20000