Uma população de linces é classificada por idade como “gatinhos” (menos de um ano) e adultos (pelo menos um ano). Todas as fêmeas adultas, inclusive as nascidas no ano anterior, têm uma cria a cada mês de junho, com uma média de três “gatinhos” por cria. A taxa de sobrevivência dos “gatinhos” é de 50%, enquanto a dos adultos é de 66 2 3 % por ano. Seja K n o número de “gatinhos” recém-nascidos em junho do n i m o ano, seja A n o número de adultos, e suponha que a relação de machos para fêmeas seja sempre 1.

b) Conclua que A n + 1 = 17 12 A n e K n + 1 = 17 12 K n , e que A n = ( 17 12 ) n - 1 A 1 e K n = ( 17 12 ) n - 1 K 1 . Que se pode concluir sobre a população?

Passo 1

Vamos continuar com a questão, para isso precisamos utilizar as relações que obtivemos na alternativa anterior e procurar uma maneira de obter estas relações. Belezinha? Vamos tentar!

Passo 2

Utilizando a expressão para A n + 1 , junto com K n + 1 , temos que:

A n + 1 = 1 2 K n + 2 3 A n → A n + 1 = 1 2 ( 3 2 ) A n + 2 3 A n = 3 4 A n + 2 3 A n = 9 + 8 12 A n = 17 12 A n

Como queríamos demonstrar. Como temos que:

K n + 1 = 3 2 ( 17 12 ) A n = 3 2 ( 17 12 ) 2 3 K n = 17 12 K n

Beleza, demonstramos as duas expressões. Agora, precisamos seguir para demonstrar as duas outras relações. Bora para o próximo passo!

Passo 3

No passo anterior mostramos que:

A n + 1 = 17 12 A n → A 2 = 17 12 A 1 → A 3 = 17 12 A 2 = ( 17 12 ) 2 A 1 → A 4 = ( 17 12 ) 3 A 1 → . . .

Note que a potência é sempre menor do que o n desejado, portanto:

A n = ( 17 12 ) n - 1 A 1

Como queríamos concluir. Agora podemos fazer um pensamento análogo para a outra expressão.

K n + 1 = 17 12 K n → K 2 = ( 17 12 ) K 1 → K 3 = ( 17 12 ) 2 K 1 → K 4 = ( 17 12 ) 3 K 1 → . . .

Portanto:

K n = ( 17 12 ) n - 1 K 1

E esta era a nossa questão. Te vejo na próxima!!!

Resposta

Ao longo do Passo 2 e 3.