Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Swokowski - Cálculo com Geometria Análitica (Vol 2)- Ed: 2º - Capítulo 11.1 - Ex. 44a
Uma população de linces é classificada por idade como “gatinhos” (menos de um ano) e adultos (pelo menos um ano). Todas as fêmeas adultas, inclusive as nascidas no ano anterior, têm uma cria a cada mês de junho, com uma média de três “gatinhos” por cria. A taxa de sobrevivência dos “gatinhos” é de 50%, enquanto a dos adultos é de por ano. Seja o número de “gatinhos” recém-nascidos em junho do ano, seja o número de adultos, e suponha que a relação de machos para fêmeas seja sempre 1.
a) Mostre que
Passo 1
Oiiiie, tudo certinho? Vamos resolver mais uma questãozinha?
Para resolver essa questão precisamos construir o formato desta sequência através de uma análise das informações que nos foram dadas no enunciado. Isso é um processo bem mais analítico do que matemático, portanto, precisamos identificar algumas características deste problema. Bora lá?
Passo 2
Vamos imaginar que temos fêmeas e machos, em que , Para cada fêmea, todo ano, temos 3 crias, portanto, , o subíndice 1 indica que estamos no primeiro ano. Portanto, podemos afirmar que:
Após anos, temos:
Até aí tudo bem, mas quantos adultos temos em ? Vamos ver isso no próximo passo!
Passo 3
O segredo para identificar esta quantidade é lembrar que quando o ano vira, metade dos gatinhos morrem :(, e metade sobrevivem para virar adultos :D . Ou seja, todo ano a quantidade de adultos aumenta de uma quantidade proporcional ao número de crias que nasceu no ano anterior, por exemplo:
é o número de sobreviventes no segundo ano. No entanto, também morrem ou . (Aqui na verdade temos um erro de digitação no enunciado do livro, para demonstrar o valor que se pede é necessário utilizar apenas , vou fazer com os dois e mostrar isso). Sendo assim, no ano seguinte temos uma quantidade de adultos sobreviventes dada por:
E desta forma obteríamos:
E para demonstrar o que queríamos, temos:
Se utilizarmos o valor correto para porcentagem de sobreviventes como , temos que:
Portanto:
Maravilha, era isso que precisávamos resolver! Bora para a próxima alternativa!
Resposta
Ao longo do Passo 2 e 3.