Enunciado

Uma população de linces é classificada por idade como “gatinhos” (menos de um ano) e adultos (pelo menos um ano). Todas as fêmeas adultas, inclusive as nascidas no ano anterior, têm uma cria a cada mês de junho, com uma média de três “gatinhos” por cria. A taxa de sobrevivência dos “gatinhos” é de 50%, enquanto a dos adultos é de 66 2 3 % por ano. Seja K n o número de “gatinhos” recém-nascidos em junho do n i m o ano, seja A n o número de adultos, e suponha que a relação de machos para fêmeas seja sempre 1.

a) Mostre que K n + 1 = 3 2 A n + 1   e   A n + 1 = 2 3 A n + 1 2 K n .  

Passo 1

Oiiiie, tudo certinho? Vamos resolver mais uma questãozinha?

Para resolver essa questão precisamos construir o formato desta sequência através de uma análise das informações que nos foram dadas no enunciado. Isso é um processo bem mais analítico do que matemático, portanto, precisamos identificar algumas características deste problema. Bora lá?

Passo 2

Vamos imaginar que temos F fêmeas e M machos, em que A 1   =   F 1 + M 1 = 2 F 1 , Para cada fêmea, todo ano, temos 3 crias, portanto, K 1 = 3 F 1 , o subíndice 1 indica que estamos no primeiro ano. Portanto, podemos afirmar que:

K 1 = 3 2 A 1

Após n anos, temos:

K n = 3 2 A n → K n + 1 = 3 2 A n + 1

Até aí tudo bem, mas quantos adultos temos em A n + 1 ? Vamos ver isso no próximo passo!

Passo 3

O segredo para identificar esta quantidade é lembrar que quando o ano vira, metade dos gatinhos morrem :(, e metade sobrevivem para virar adultos :D . Ou seja, todo ano a quantidade de adultos aumenta de uma quantidade proporcional ao número de crias que nasceu no ano anterior, por exemplo:

S 2 = 1 2 K 1

S 2 é o número de sobreviventes no segundo ano. No entanto, também morrem 1 - 66 2 3 % = 1 - 66 2 300 = 1 - 44 100 = 1 - 11 25 = 14 25 ou 44 % . (Aqui na verdade temos um erro de digitação no enunciado do livro, para demonstrar o valor que se pede é necessário utilizar apenas 66 % ≈ 2 3 , vou fazer com os dois e mostrar isso). Sendo assim, no ano seguinte temos uma quantidade de adultos sobreviventes dada por:

A s 2 = A 1 - 14 25 A 1 = 11 25 A 1

E desta forma obteríamos:

A n = S n - 1 + A s ( n - 1 ) = 1 2 K n - 1 + 11 25 A n - 1

E para demonstrar o que queríamos, temos:

A n + 1 = 1 2 K n + 11 25 A n

Se utilizarmos o valor correto para porcentagem de sobreviventes como 2 / 3 , temos que:

A s 2 = A 1 - 1 3 A 1 = 2 3 A 1

Portanto:

A n + 1 = 1 2 K n + 2 3 A n

Maravilha, era isso que precisávamos resolver! Bora para a próxima alternativa!

Resposta

Ao longo do Passo 2 e 3.