Se possível, diagonalize a matriz:

Passo 1

Saca só a resolução dessa questão! Para nós diagonalizarmos uma matriz, ela, primeiramente, deve ser diagonalizável, a condição é que encontremos os autovalores, assim:

= - lambda^3 + 7 lambda^2 - 11 lambda + 5 = - (lambda - 1) (lambda^2 - 6 lambda + 5) = - ( lambda - 1 ) ( lambda - 1 ) ( lambda - 5 )

Desenvolvendo a equação, nós temos que lambda = 1 , lambda = 1 , lambda = 5 . Portanto, por ter 3 autovalores em uma matriz 3x3 de dimensão 3, podemos dizer que a matriz é de fato diagonalizável !

Além disso, a matriz diagonal D é composta pelos autovalores, assim:

Passo 2

O próximo passo é diagonalizar a matriz, para isso, vamos substituir os autovalores da matriz para determinar os autovetores.

  • Se lambda = 1
  • Fazendo eliminação de Gauss, temos:

    Passo 3

  • Se lambda = 2 vamos repetir o mesmo processo:

Portanto, os autovetores ( v_1 , v_2 , v_3 ) correspondente aos autovetores de D correspondem às colunas de P:

Passo 3

E por o último passo é inverter a matriz P, logo:

Resposta