Se possível, diagonalize a matriz:

c ) [3 - 1 0 1 1 0 0 0 4]

Passo 1

Para descobrirmos se a matriz é diagonalizável, ela tem que satisfazer a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P^(- 1) . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P^(- 1) é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

Passo 2

Nós vamos descobrir quem é esse tal de autovalor aplicando det(A−λI) na matriz, assim:

[3 - lambda - 1 0 1 1 - lambda 0 0 0 4 - lambda] = - lambda^3 + 8 lambda^2 - 20 lambda + 16 = - (lambda - 4) * (lambda^2 - 4 lambda + 4) = - (lambda - 4) * (lambda - 2)^2

Desenvolvendo a matriz vamos obter raízes distintas possíveis lambda = 4 e lambda = 2 . Teremos que essas raízes já são os próprios autovalores da matriz !!

Passo 3

O próximo passo é obter o P, ou seja, os autovetores, resultado da substituição dos lambda da matriz pelos autovalores encontrados, dessa forma:

  • lambda = 4
  • [- 1 - 1 0 1 - 3 0 0 0 0]

    Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

    [1 0 0 1 1 0 0 0 0] -> { x_1 = 0 x_2 = 0

    Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x_3 = 1 , assim, o autovetor quando lambda = 4 é v_1 = (0 0 1)

  • lambda = 2

[1 - 1 0 1 - 1 0 0 0 2]

Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

[1 - 1 0 0 0 1 0 0 0] -> { x_1 = x_2 x_3 = 0

Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x_3 = x_2 , assim, o autovetor quando lambda = 2 é v_2 = (1 1 0)

Ih rapaz, aqui a gente percebe um problema, pois a soma das dimensões dos autoespaços é 2 e não 3, logooo, NÃO existe base de autovetores e, consequentemente, a matriz não é diagonalizável

Resposta

n ã o d i a g o n a l i z á v e l