Se possível, diagonalize a matriz:

a ) [1 0 6 - 1]

Passo 1

Para descobrirmos se a matriz é diagonalizável, ela tem que satisfazer a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P^(- 1) . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P^(- 1) é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

Passo 2

Nós vamos descobrir quem é esse tal de autovalor aplicando det(A−λI) na matriz, assim:

[1 - lambda 0 6 - 1 - lambda] = (lambda - 1) (lambda + 1)

Desenvolvendo a matriz vamos obter raízes distintas possíveis lambda = 1 e lambda = - 1 . Teremos que essas raízes já são os próprios autovalores da matriz !! Logo, a diagonal D é:

D = [- 1 0 0 1]

Passo 3

O próximo passo é obter o P, ou seja, os autovetores, resultado da substituição dos lambda da matriz pelos autovalores encontrados, dessa forma:

  • lambda = - 1
  • [2 0 6 0]

    Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

    [1 0 0 0] -> { x_1 = 0 x_2 = x_2

    Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x_2 = 1 , assim, o autovetor quando lambda = - 1 é v_1 = (0 1)

  • lambda = 1

[0 0 6 - 2]

Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

[1 - (1)/(3) 0 0] -> { x_1 = (1)/(3) x_2 x_2 = x_2

Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x_2 = 1 , assim, o autovetor quando lambda = 1 é v_2 = (1 3)

Portanto, o P é a união de v_1 e v_2 em uma única matriz: P = [0 1 1 3]

Passo 4

E por fim a inversa de P é P^(- 1) = [1 3 0 1]^(- 1)

Resposta

[1 0 6 - 1] = [0 1 1 3] [- 1 0 0 1] [1 3 0 1]^(- 1)