Se possível, diagonalize a matriz:
Passo 1
Para descobrirmos se a matriz é diagonalizável, ela tem que satisfazer a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que . Sendo assim, temos:
- D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
- P é a matriz composta dos autovetores
- é a inversa de P
Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!
Passo 2
Nós vamos descobrir quem é esse tal de autovalor aplicando det(A−λI) na matriz, assim:
Desenvolvendo a matriz vamos obter raízes distintas possíveis . Teremos que essas raízes já são os próprios autovalores da matriz !! Logo, a diagonal D é:
Passo 3
O próximo passo é obter o P, ou seja, os autovetores, resultado da substituição dos da matriz pelos autovalores encontrados, dessa forma:
Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:
Podemos reescrever esse sistema se considerarmos autovetor temos como autovetores:
Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:
Podemos reescrever esse sistema se considerarmos , assim, o autovetor quando é
Portanto, o P é a união de em uma única matriz: