Se possível, diagonalize a matriz:

d ) [1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1]

Passo 1

Para descobrirmos se a matriz é diagonalizável, ela tem que satisfazer a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P^(- 1) . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • P é a matriz composta dos autovetores
  • P^(- 1) é a inversa de P

Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

Passo 2

Nós vamos descobrir quem é esse tal de autovalor aplicando det(A−λI) na matriz, assim:

[1 - lambda 0 0 0 - lambda 0 0 1 0 0 1 0 0 0 - lambda 0 0 1 - lambda] = lambda^4 - 2 lambda^3 + 2 lambda - 1 = ( lambda - 1 ) ( lambda^3 - lambda^2 - lambda + 1 ) = (lambda - 1)^2 * ( lambda^2 - 1 ) = (lambda - 1)^2 ( lambda - 1 ) * ( lambda + 1 )

Desenvolvendo a matriz vamos obter raízes distintas possíveis lambda = 1 e lambda = - 1 . Teremos que essas raízes já são os próprios autovalores da matriz !! Logo, a diagonal D é:

D = [1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1]

Passo 3

O próximo passo é obter o P, ou seja, os autovetores, resultado da substituição dos lambda da matriz pelos autovalores encontrados, dessa forma:

  • lambda = 1
  • [0 0 0 - 1 0 0 1 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0]

    Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

    [0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] -> { x_2 = x_3

    Podemos reescrever esse sistema se considerarmos o autovetor lambda = 1 temos como autovetores: x_1 (1 0 0 0) + x_3 (0 1 1 0) + x_4 (0 0 0 1)

  • lambda = - 1

[2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2]

Essa matriz é o sistema de equações lineares, podemos resolver por eliminação de Gauss:

[1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0] -> { x_1 = 0 x_2 = - x_3 x_4 = 0

Podemos reescrever esse sistema se considerarmos x_3 = 1 , assim, o autovetor quando lambda = - 1 é v_2 = (0 - 1 1 0)

Portanto, o P é a união de v_1 e v_2 em uma única matriz: P = [1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 - 1 1 0]

Resposta

[1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1] = [1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 - 1 1 0] [1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1] [1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 - 1 1 0]^(- 1)