Se T   :   R n   →   R n possui como polinômio característico:

p ( λ )   =   d e t ( T   -   λ I )   =   ( λ   -   1 ) ( λ   +   3 ) ( 2   -   λ )

a. n = ___ ; (b) dim(Nuc(T)) = ___ ; (c) dim(Nuc(T − 3I)) = ___.

Passo 1

Ihh travou nessa questão? Vamos descomplicar então, saca só, o comando nos diz que há uma transformação linear T em R n na qual o polinômio característico, ou seja, a função d e t ( T   -   λ I ) na matriz usada para encontrar os autovalores, é representado pela função ( λ   -   1 ) ( λ   +   3 ) ( 2   -   λ ) .

Agora que nós já traduzimos o comando, vamos começar a resolver os itens da questão!

Passo 2

a. Para saber a dimensão n, R n , basta desenvolver o polinômio característico, dessa forma:

λ   -   1 λ   +   3 2   -   λ = λ 2 + 2 λ - 3 2   -   λ = 2 λ 2 + 4 λ - 6 - λ 3 - 2 λ 2 + 3 λ

= - λ 3 + 7 λ - 6

A equação obtida é de terceiro grau, pois tem expoente 3, logo, a dimensão n também é 3.

Passo 3

b. Aqui no item B a gente vai lembrar a formulinha do Teorema do Núcleo e da Imagem, na qual

d i m N u c T +   d i m I m T =   d i m R n             ( 1 )

O comando pergunta qual é a dimensão do núcleo de T, para encontra-lo nós já temos que a dimensão de R vale 3, mas afinal quem seria a dimensão da imagem de T?

Raciocina comigo, SE a função obtida no passo 2 é do terceiro grau, então, o máximo de raízes/respostas/soluções para a equação é 3, ou seja, a imagem também tem dimensão 3. Aplicando esses valores na fórmula (1), temos:

d i m N u c T = 3 - 3 = 0

Logo a dimensão do núcleo é 0.

Passo 4

c. Mas o que seria essa dim(Nuc(T − 3I)) ?? Aqui o comando pergunta qual seria a dimensão do núcleo quando a gente usa na equação do polinômio característico, T   -   λ I , o λ = 3 .

Ou seja, basta substituir na equação inicial dada

Logo: p ( 3 )   =   d e t ( T   -   3 I )   =   ( 3   -   1 ) ( 3   +   3 ) ( 2   -   3 )

Desenvolvendo, temos:

2 6 - 1 = - 12

Analisando o resultado, nós temos uma equação constante, ou seja, grau 1, logo a dimensão do núcleo quando λ = 3 é... 1 !!

Resposta

a )   n = 3   ; b )   d i m N u c T = 0   ;   c )   d i m N u c T   -   3 I = 1