Um projétil é lançado verticalmente do solo com uma velocidade inicial de 112   m / s . Após t segundos, sua distância do solo é de 112 t - 4,9 t 2 metros.

  1. Ache a velocidade do projétil para t = 2 , t = 3 e t = 4 .
  2. Quando o projétil atinge o solo?
  3. Ache a velocidade no momento em que ele atinge o solo.

Passo 1

Primeiramente, gostaria de esclarecer que fizemos uma modificação na equação apresentada no enunciado. O motivo é bastante simples, para resolvermos este problema temos que aplicar o conceito de derivada e ao fazermos isso vamos encontrar como resultado uma constante, ou seja, não será possível calcular a velocidade para os diferentes valores de tempo nos itens (a) e (c). Dessa forma, alteramos a equação s t = 112 t - 4,9 t para s t = 112 t - 4,9 t 2 . Agora que estamos cientes desse detalhe, vamos seguir com a resolução do problema começando por uma breve revisão do conceito básico que está presente nesta questão.

Segundo a Definição (3.3), suponhamos que um ponto P percorra uma reta coordenada l de modo que sua coordenada no instante t seja s t . A velocidade v a de P no instante a é

v a = lim h  → 0 ⁡ s a + h - s ( a ) h

Desde que o limite exista.

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.3), vamos resolver a questão.

  1. Para determinar a velocidade, vamos utilizar a seguinte equação
  2. v a = lim h  → 0 ⁡ s a + h - s ( a ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 112 a + h - 4,9 a + h 2 - [ 112 a - 4,9 a 2 ] h

    = lim h → 0 ⁡ 112 a + 112 h - 4,9 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) - 112 a + 4,9 a 2 h

    = lim h → 0 ⁡ 112 h - 4,9 a 2 - 9,8 a h - 4,9 h 2 + 4,9 a 2 h

    = lim h → 0 ⁡ 112 h - 9,8 a h - 4,9 h 2 h

    Simplificando a equação,

    = lim h → 0 ⁡ h ( 112 - 9,8 a - 4,9 h ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 112 - 9,8 a - 4,9 h

    Substituindo h ,

    = 112 - 9,8 a - ( 4,9 × 0 )

    v a = 112 - 9,8 a

  • Para t = 2   s ,
  • v a = 112 - 9,8 × 2 = 92,4   m / s 2

  • Para t = 3   s
  • v a = 112 - 9,8 × 3 = 82,6   m / s 2

  • Para t = 4   s

v a = 112 - 9,8 × 4 = 72,8   m / s 2

Passo 3

  • O projétil atinge o solo quando s = 0 , logo
  • s t = 112 t - 4,9 t 2 = 0

    - 4,9 t 2 + 112 t = 0

    t - 4,9 t + 112 = 0

    Resolvendo as equações separadamente e encontrando suas raízes, temos aqui duas situações,

    t = 0 t ≅ 22,85

    Considerando que o tempo final deve ser t ≠ 0 , o tempo final é a segunda opção, entretanto, este valor corresponde apenas a metade do percurso. Em outras palavras, quando o projétil atingiu sua altura máxima ele estava na posição s t = 112 t - 4,9 t 2 , logo ele percorreu a mesma distância na volta. Isso significa que o tempo deve ser o dobro do que encontramos. Assim,

    t = 22,85 × 2 = 45,71   s

    Passo 4

  • A velocidade com que o projétil atinge o solo é quando t = 45,71 , logo
  • v a = 112 - 9,8 a = 112 - 9,8 × 45,71 ≅ - 335,96   m / s 2

    Resposta

    a   v a = { 92,4 ; 82,6 ; 72,8 }   m / s 2

    b   t = 45,71   s

    c   v a = - 335,96   m / s 2