Prove a associatividade para a multiplicação de matrizes 2 X 2, isto é, considere

e mostre que

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Os vetores de coluna de A

    ‎Para escrever ‎b‎ como uma combinação linear de ‎ a 1 ‎ ​‎ e ‎ a 2 ​‎ devemos encontrar números reais ‎ c 1 ​‎ e ‎ c 2 ​‎ de tal forma que ‎ c 1 a 1 + c 2 a 2 = b ‎ o que nos dá que‎

    Então

    ‎Por isso devemos ter ‎ c 1 + 2 c 2 = 4 ‎ e ‎ c 1 - 2 c 2 = 0 ‎ o que nos dá que ‎ c 1 + 2 c 2 + c 1 - 2 c 2 = 4 + 0 ‎ e, em seguida, ‎ 2 c 1 = 4 nos dando ‎ c 1 = 2

    ‎Desde ‎ c 1 - 2 c 2 = 0 e ‎ c 1 = 2 temos que ‎ 2 - 2 c 2 = 0 ‎ o que nos dá que ‎ 2 c 2 = 2 e, em seguida, ‎ c 2 = 1

    Passo 2

  2. ‎De acordo com parte (a) deste exercício, temos que b = 2 a 1 + a 2 ​‎. Portanto, podemos concluir que X = 2,1 T ‎ é uma solução do sistema linear ‎ A x   =   b ‎. Vamos determinar se existem ou não outras soluções computando a forma de escalonada de linha da matriz aumentada A b .
  3. ‎Da forma de escalonada de linha da matriz aumentada ‎ A b , ‎podemos concluir que o sistema é consistente e tem uma solução única‎, porque não há variáveis livres. Portanto, x = 2,1 T ‎ é a única solução do sistema dado.‎

    Passo 3

  4. ‎Para escrever c‎ como uma combinação linear das colunas ‎ a 1 ​‎ e a 2 ​‎ vamos calcular a forma de escalão de linha reduzida da matriz aumentada ‎ A c .

‎A partir da forma de escalão de linha reduzida, podemos concluir que x = - 5 2 , - 1 4 T

é a única solução do sistema linear A x   =   c (já que não há variáveis livres). Isso implica que a coluna c‎ pode ser escrito como c = - 5 2 a 1 - 1 4 a 2

Resposta

Resposta nos passos.