Prove que se:

P diagonaliza A , então Q = λ P com λ ∈ R não-nulo também diagonaliza A .

Passo 1

E aí, galera, beleza? Bora pro exercício!!!

Só relembrando, dizer que uma matriz invertível P diagonaliza uma matriz A , significa dizer que existe uma matriz diagonal D , tal que:

A = P D P - 1

Além do mais, vale lembrar que se uma matriz P é invertível, então a matriz λ P também é, e sua inversa é dada por 1 λ P - 1 .

Passo 2

Devemos mostrar que Q diagonaliza A , ou seja, que podemos escrever A = Q D Q - 1 . Para isso, trabalhemos com o segundo lado da igualdade:

Q D Q - 1 = λ P D λ P - 1 = λ P D 1 λ P - 1 = λ × 1 λ P D P - 1 = P D P - 1 = A

Portanto, está provado que Q diagonaliza A .

Resposta

Demonstração acima.