Prove que, se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Suponha que a matriz A é linha equivalente à matriz B. Então existe uma sequência finita de matrizes elementares de tal forma que
Passo 2
Deixamos que . Uma vez que as matrizes elementares são não-singulares e o produto de matrizes não-singulares não é insigular temos que M não-singular.
Desde e M é não-singular, multiplicando ambos os lados de por
Para a esquerda nos dá que e, em seguida,
Desde temos que em seguida,
Uma vez que o inverso de uma matriz elementar também é uma matriz elementar temos que são todas matrizes elementares.
Então B é uma equivalente por linha de A
Resposta
Resposta nos passos.