Prove que, se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Suponha que a matriz A é linha equivalente à matriz B. Então existe uma sequência finita  E 1 , E 2 , … , E k ​ de matrizes elementares de tal forma que  A = E k E k - 1 … E 1 B

Passo 2

Deixamos que M = E k E k - 1 … E 1 . Uma vez que as matrizes elementares são não-singulares e o produto de matrizes não-singulares não é insigular temos que M não-singular.

Desde A   =   M B e M é não-singular, multiplicando ambos os lados de A   =   M B por M - 1

Para a esquerda nos dá que M - 1 A = M M - 1 B e, em seguida, B = M - 1 A

Desde M = E k E k - 1 … E 1 temos que   M - 1 = E k E k - 1 ⋯ E 1 - 1 = E 1 - 1 ⋯ E k - 1 - 1 E k - 1 em seguida, B = E 1 - 1 ​ ⋯ E k - 1 - 1 ​ E k - 1 - 1 ​ A .

Uma vez que o inverso de uma matriz elementar também é uma matriz elementar temos que E 1 - 1 ​ , …   , E k - 1 - 1 ​ , E k - 1 são todas matrizes elementares.

Então B é uma equivalente por linha de A

Resposta

Resposta nos passos.