(a) Prove que, se A é equivalente por linhas a B e se B é equivalente por linhas a C, então A é

equivalente por linhas a C.

(b) Prove que duas matrizes invertíveis n X n quaisquer são equivalentes por linha.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Suponha A é linha equivalente a B e B é linha equivalente a C. Então existem duas sequências finitas E 1 , E 2 , … , E k e E 1 , E 2 , … , E l de matrizes elementares de tal forma que A = E k E k - 1 … E 1 B e B = E l E l - 1 . . . E 1 C
  2. Então A = E k E k - 1 . . . E 1 E l E l - 1 . . . E 1 C = E k E k - 1 . . . E 1 E l E l - 1 . . . E 1 C ‎e, portanto, ‎‎A‎ é linha equivalente a ‎C

    Passo 2

  3. Deixar A e B ser dois n×n matrizes não-singulares. Então nós temos que A e B são ambos equivalentes linha a I.

Desde B é linha equivalente a I temos pelo exercício 23 que I é linha equivalente a B.

Desde A é linha equivalente a I e I é linha equivalente a B temos por item (a) que A é linha equivalente a B.

Desde A é linha equivalente a B também temos pelo exercício 23 que B é linha equivalente a A.

Resposta

Resposta nos passos.