Prove a identidade

z + w 2 + z - w 2 = 2 z 2 + w 2

Enuncie a propriedade geométrica do paralelogramo que ela exprime

Passo 1

A primeira parte é bem direta se usarmos o resultado da questão anterior, item d.

z + w 2 = z 2 + w 2 + 2 R e ( z w - )

z - w 2 = z 2 + w 2 - 2 R e ( z w ) -

Logo:

z + w 2 + z - w 2 = 2 z 2 + w 2

Passo 2

A segunda parte da questão é ligar esses z + w   e   z - w ao paralelogramo.

Para isso, temos que imaginar um paralelogramo com lados z e w, temos que z + w   e   w - z são diagonais desse paralelogramo

Passo 3

Agora usaremos uma famosa propriedade do paralelogramo que é:

A soma dos quadrados das diagonais é igual ao dobro da soma do quadrado dos lados

Como w - z 2 = z - w 2 podemos fazer essa ligação com o paralelogramo

Resposta

A soma dos quadrados das diagonais é igual ao dobro da soma do quadrado dos lados