a) Prove que mdc(a, mdc(b,c)) = mdc(a, b, c).

b) Use esse fato para encontrar o máximo divisor comum de 46, 64, e 124.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

  1. Vamos chamar m d c ( a ,   b ,   c ) de k para facilitar as coisas.
  2. Por definição do máximo divisor comum, k ≥   0 ;

    Sabemos também que, todo divisor de b e c é divisor do máximo divisor comum desses números, pois k a ,   k b   e   k | c , ou seja, k | a   e   k | m d c ( b , c ) ;

    Portanto, se tomarmos k’ como um divisor de a e de mdc(b, c), então k ' a ,   k ' b   e   k ' | c e, dessa maneira, divide o máximo divisor comum desses números, ou seja, divide k e está provada a proposição.

    Passo 2

  3. Visto no exercício anterior, m d c 46 ,   m d c 64,124 = m d c 46 ,   64 ,   124 , então vamos nessa!

mdc(64,124):

64 ,   124 |   2

    32 ,   62   |   2

16 ,   31 |

mdc(64, 124) = 4

Então mdc(46, 4):

        46 ,   4   |   2

23 ,   2   |

m d c 46 ,   m d c 64,124 = m d c 46 ,   64 ,   124 = 2 .

Resposta

  1. Demonstração
  2. 2