Prove que se:

A e B são diagonalizadas pela mesma matriz P , então A B = B A .

Passo 1

E aí, galera, beleza? Bora pro exercício!!!

Só relembrando, dizer que uma matriz invertível P diagonaliza uma matriz A , significa dizer que existe uma matriz diagonal D , tal que:

A = P D P - 1

Além do mais, vale lembrar que se D 1 e D 2 são duas matrizes diagonais, então D 1 D 2 = D 2 D 1 .

Passo 2

Sejam A = P D 1 P - 1 e B = P D 2 P - 1 , temos que:

A B = P D 1 P - 1 P D 2 P - 1 = P D 1 P - 1 P D 2 P - 1 = P D 1 D 2 P - 1

B A = P D 2 P - 1 P D 1 P - 1 = P D 2 P - 1 P D 1 P - 1 = P ( D 2 D 1 ) P - 1 = P D 1 D 2 P - 1 = P D 1 D 2 P - 1

Logo, está provado que A B = B A .

Resposta

Demonstração acima.