Prove que se:

Prove que se todo vetor (não-nulo) de V é autovetor de T , então T = λ I para algum λ ∈ R .

Passo 1

E aí, galera, bora para mais um??!!

Para resolver esse exercício, devemos considerar o seguinte: Dado um sistema linear homogêneo A x = 0 , o total de variáveis livres na solução do sistema é dado por:

n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a - ( t o t a l   d e   l i n h a s   L I ' s   n a   m a t r i z   d e   c o e f i c i e n t e s )

Sabendo disso, vamos para a questão.

Passo 2

Seja T uma matriz n × n . Como todo vetor v (não-nulo) de V é autovetor de T em relação a um autovalor λ , segue que o sistema:

T - λ I v = 0

possui n varáveis livres, ou seja, a matriz de coeficientes ( T - λ I ) não possui nenhuma linha linearmente independente, donde concluímos que T - λ I = 0 ⇔ T = λ I , o que completa a demonstração.

Resposta

Demonstração acima.