Prove que se:
Prove que se todo vetor (não-nulo) de é autovetor de , então para algum .
Passo 1
E aí, galera, bora para mais um??!!
Para resolver esse exercício, devemos considerar o seguinte: Dado um sistema linear homogêneo , o total de variáveis livres na solução do sistema é dado por:
Sabendo disso, vamos para a questão.
Passo 2
Seja uma matriz . Como todo vetor (não-nulo) de é autovetor de em relação a um autovalor , segue que o sistema:
possui varáveis livres, ou seja, a matriz de coeficientes não possui nenhuma linha linearmente independente, donde concluímos que , o que completa a demonstração.
Resposta
Demonstração acima.