a) Prove que

ln ⁡ 1 - x = -   ∑ n = 1 ∞ x n n     s e   x < 1

b) Use a série de (a) para aproximar ln ⁡ ( 1,2 ) com três casas decimais e compare o resultado com o valor obtido por uma calculadora.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Para encontrar uma série de potência aplicar o teorema 11.40 do livro texto, lá temos que:

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

∫ 0 x f t d t =   ∑ n = 1 ∞ a n n + 1 x n + 1

Nosso problema é provar a relação:

ln ⁡ 1 - x = -   ∑ n = 1 ∞ x n n     s e   x < 1

Utilizando o teorema relembrado acima!

Passo 2

Aplicando o teorema 11.40 temos que:

f x = ln ⁡ ( 1 - x )  

f ' x = - 1 1 - x    

- [ 1 + x +   x 2 … … … . .   x n ]

- ∑ n = 0 ∞ x n   = f x =   - ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1    

- ∑ n = 1 ∞ x n n  

Passo 3

Quase acabando!

Calculando o valor de ln ⁡ ( 1,2 ) , teremos:

ln ⁡ [ 1 - ( - 0,2 ) ]   ≈   - - 0,2 - - 0,2 2 2 - - 0,2 3 3 ≈ 0,183

Para encontrar o erro temos que:

e r r o < - 0,2 4 4 =   0,4   x   10 - 3  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

a)

f ' x = - 1 1 - x    

- [ 1 + x +   x 2 … … … . .   x n ]

- ∑ n = 0 ∞ x n   = f x =   - ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1    

- ∑ n = 1 ∞ x n n  

b)

ln ⁡ [ 1 - ( - 0,2 ) ]   ≈   - - 0,2 - - 0,2 2 2 - - 0,2 3 3 ≈ 0,183