Prove the second part of Theorem 6: Let w be any solution of Ax = b, and define . Show that is a solution of Ax = 0. This shows that every solution of Ax = b has the form, with p a particular solution of Ax = b and a solution of Ax = 0.
Passo 1
Beleza pessoal, espero que todos estejam bem e dispostos a resolver mais umas atividades. Hoje é dia de Álgebra Linear, espero que gostem da matéria e vamos nós!!!

Suponha que a equação Ax = b seja consistente para algum dado b, e seja p uma solução.
Passo 2
Então o conjunto solução de Ax = b é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é uma solução da equação homogênea Ax = 0. Suponha que p satisfaça Ax = b. Então Ap = b. O Teorema 6 diz que o conjunto solução de Ax = b é igual ao conjunto . Há coisas a provar: a) todo vetor em S satisfaz Ax = b, (b) todo vetor que satisfaz Ax = b está em S.
Passo 3
Seja w a forma onde , então
Segundo o Teorema 5(a) da seção 1.4
Então todo vetor da forma , satisfaz Ax = b.
Agora deixamos w ser uma solução de Ax = b, e . Então
Então satisfaz Ax = 0. Então toda solução de Ax = b tem a forma de