Prove the second part of Theorem 6: Let w be any solution of Ax = b, and define v h   =   w   -   p . Show that v h is a solution of Ax = 0. This shows that every solution of Ax = b has the form w   =   p   +   v h , with p a particular solution of Ax = b and v h a solution of Ax = 0.

Passo 1

Beleza pessoal, espero que todos estejam bem e dispostos a resolver mais umas atividades. Hoje é dia de Álgebra Linear, espero que gostem da matéria e vamos nós!!!

Suponha que a equação Ax = b seja consistente para algum dado b, e seja p uma solução.

Passo 2

Então o conjunto solução de Ax = b é o conjunto de todos os vetores da forma w   =   p   +   v h , onde v h é uma solução da equação homogênea Ax = 0. Suponha que p satisfaça Ax = b. Então Ap = b. O Teorema 6 diz que o conjunto solução de Ax = b é igual ao conjunto S ;   { w :   w   =   p   +   v h   p a r a   a l g u m   v h   t a l   q u e   A v h   =   0 } . Há coisas a provar: a) todo vetor em S satisfaz Ax = b, (b) todo vetor que satisfaz Ax = b está em S.

Passo 3

Seja w a forma   w   =   p   +   v h , onde A v h   =   0 , então

A w   =   A ( p + v h )   =   A p   +   A v h

Segundo o Teorema 5(a) da seção 1.4

A w   =   b   +   0   =   b

Então todo vetor da forma p   +   v h , satisfaz Ax = b.

Agora deixamos w ser uma solução de Ax = b, e v h   =   w   - p . Então

A v h = A w - p = A w - A p = b - b = 0

Então v h satisfaz Ax = 0. Então toda solução de Ax = b tem a forma de

w   =   p   + v h

Resposta

A v h = A w - p = A w - A p = b - b = 0