Quantifique as funções proposicionais que seguem de modo a torna-las verdadeiras (para todas o universo e conjunto dos números reais):

  1. x 2   –   5 x   +   6   =   0  
  2. x 2   -   16   =   x   -   4 x   +   4
  3. s e n 2   x + cos 2 ⁡ x =   1
  4. s e n 2 x -   s e n x =   0  
  5. x 2   -   3 x   +   3   >   1  
  6. x 2   >   2 x 3

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Mais uma vez vamos caprichar no português, precisamos tornar as sentenças verdadeiras utilizando as palavrinhas mágicas dos conjuntos: “para todo”, “existe”, “pertence”, entre outras. Vamos lá então!

  1. A equação, x 2   –   5 x   +   6   =   0 , possui raízes reais, x 1 = 3 e x 2 = 2 , então podemos usar a palavra existe para formar a sentença verdadeira,
  2. E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   x 2 - 5 x + 6 = 0 .

    Passo 2

  3. x   -   4 x   +   4 é nada mais nada menos do que a fatoração de x 2   -   16 , então podemos usar nosso “para todo” para formar a sentença,
  4. P a r a   t o d o   x   ∈ R ,   x 2   -   16 = ( x - 4 ) ( x + 4 )

    Passo 3

  5. Essa é a lei fundamental da trigonometria, ela é verdadeira para qualquer x,
  6. P a r a   t o d o   x ∈ R , s e n 2   x + cos 2 ⁡ x =   1

    Passo 4

  7. Vamos descobrir a solução da equação, fazendo sen(x) = y,
  8. s e n 2 x -   s e n x =   0 → y 2 - y = 0

    y y - 1 = 0 → y 1 = 0   o u   y 2 = 1

    s e n x = 0   o u   s e n x = 1

    x = 90   o u   x ≈ 1.57  

    Portanto, podemos escrever nossa sentença como,

    E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   s e n 2 x -   s e n x =   0   .

    Passo 5

  9. Vamos resolver a inequação,
  10. x 2   -   3 x   +   3   >   1 → x 2 - 3 x + 2 > 0

    x 1 > 2   e   x 2 < 1

    Podemos escrever que,

    E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   x 2   -   3 x   +   3   >   1   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x > 2   o u   x < 1   .

    Passo 6

  11. Vamos resolver a inequação,

x 2   >   2 x 3 → x 2 - 2 x 3 > 0

x 2 1 - 2 x > 0

x > 0   o u   x < 1 2

A solução dessa inequação ocorre somente quando 0 < x < 1 2 , então podemos escrever nossa sentença como,

E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   x 2   >   2 x 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   0 < x < 1 / 2 .

Resposta

  1. E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   x 2 - 5 x + 6 = 0 .
  2. P a r a   t o d o   x   ∈ R ,   x 2   -   16 = ( x - 4 ) ( x + 4 ) .
  3. P a r a   t o d o   x ∈ R ,   s e n 2   x + cos 2 ⁡ x =   1 .
  4. E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   s e n 2 x -   s e n x =   0   .
  5. E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   x 2   -   3 x   +   3   >   1   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   x > 2   o u   x < 1   .
  6. E x i s t e   u m   x ,   p e r t e n c e n t e   a   R ,   t a l   q u e   x 2   >   2 x 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   0 < x < 1 / 2 .