Reduza cada uma das equações seguintes à forma canónica e identifique e esboce a quádrica que ela representa

  1. 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4 ; e) z = 4 x 2 + y 2 ;
  2. 36 x 2 + y 2 + 9 z 2 = 9 ; f)   16 z = 4 x 2 - y 2 ;
  3. 3 x 2 - 8 y 2 + 4 z 2 = 1 ; g)   y 2 = x 2 + z 2 ;
  4. 3 x 2 - 8 y 2 - 4 z 2 = 1 ; h) z 2 = x 2 + 2 y 2

Passo 1

Nesta questão ele pede para reduzirmos as equações dadas para forma canônica, sendo elas,

  1. 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4 ; e) z = 4 x 2 + y 2 ;
  2. 36 x 2 + y 2 + 9 z 2 = 9 ; f)   16 z = 4 x 2 - y 2 ;
  3. 3 x 2 - 8 y 2 + 4 z 2 = 1 ; g)   y 2 = x 2 + z 2 ;
  4. 3 x 2 - 8 y 2 - 4 z 2 = 1 ; h) z 2 = x 2 + 2 y 2

Calma meu amigo que ela parece trabalhosa, mas é de boa.

Passo 2

Na letra (a) tendo 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4

Repare que se realizarmos os fatores por x , y   e   z vamos ter que:

4 x 2 = 4 → x 2 = 4 4 = 1

4 y 2 = 4 → y 2 = 4 4 = 1

z 2 = 4

x 2 1 + y 2 1 + z 2 4 = 1 → elipsoide de revolução

Na letra (b) tendo 36 x 2 + y 2 + 9 z 2 = 9

Repare que se realizarmos os fatores por x , y   e   z vamos ter que:

36 x 2 = 9 → x 2 = 9 36 = 1 4

y 2 = 9

9 z 2 = 9 → z 2 = 1

x 2 1 4 + y 2 9 + z 2 1 → elipsoide

Na letra ( c ) tendo 3 x 2 - 8 y 2 + 4 z 2 = 1

Repare que se realizarmos os fatores por x , y   e   z vamos ter que:

3 x 2 = 1 → x 2 = 1 3

- 8 y 2 = 1 → y 2 = - 1 8

4 z 2 = 1 → z 2 = 1 4

x 2 1 3 - y 2 1 8 + z 2 1 4 = 1 →   hiperboloide de uma folha

Na letra (d) tendo 3 x 2 - 8 y 2 - 4 z 2 = 1

Repare que se realizarmos os fatores por x , y   e   z vamos ter que:

3 x 2 = 1 → x 2 = 1 3

- 8 y 2 = 1 → y 2 = - 1 8

- 4 z 2 = 1 → z 2 = - 1 4

x 2 1 3 - y 2 1 8 - z 2 1 4 = 1 → hiperboloide de duas folhas

Passo 3

Já na letra (e) sendo z = 4 x 2 + y 2

Repare que se realizarmos os fatores por x , y   e   z vamos ter que:

z = 4 x 2

z = y 2

z = x 2 1 4 + y 2 1 → paraboloide elíptico

Na letra (f) sendo 16 z = 4 x 2 - y 2

Repare que se realizarmos os fatores por x , y   e   z vamos ter que:

16 z = 4 x 2

z = 4 y 2 16 = x 2 4

16 z = y 2

z = y 2 16

z = x 2 4 - y 2 16 → paraboloide hiperbólico

Na letra (g) temos que, y 2 = x 2 + z 2

Esta já veio pronta em que vai ficar

y 2 = x 2 + z 2 → cone de revolução

Na letra (h) temos que, z 2 = x 2 + 2 y 2

z 2 = x 2

z 2 = 2 y 2

y 2 = z 2 2

z 2 = x 2 + y 2 1 2 → cone quadrático

Estão vendo esta coisa linda meus amigos.

Resposta

  1. x 2 1 + y 2 1 + z 2 4 = 1 → elipsoide de revolução
  2. x 2 1 4 + y 2 9 + z 2 1 → elipsoide
  3. x 2 1 3 - y 2 1 8 + z 2 1 4 = 1 →   hiperboloide de uma folha
  4. x 2 1 3 - y 2 1 8 - z 2 1 4 = 1 → hiperboloide de duas folhas
  5. z = x 2 1 4 + y 2 1 → paraboloide elíptico
  6. z = x 2 4 - y 2 16 → paraboloide hiperbólico
  7. y 2 = x 2 + z 2 → cone de revolução
  8. z 2 = x 2 + y 2 1 2 → cone quadrático