Ref. Exercício 37 da seção 11.6. Use o Teorema (11.40) para provar o seguinte:

(a) Se J 0 ( x ) e J 1 ( x ) são funções de Bessel de primeira espécie de ordens 0 e 1 , então

D x J 0 x = - J 1 ( x )

(b) Se J 2 ( x ) e J 3 ( x ) são funções de Bessel de primeira espécie de ordens 2 e 3, então

∫ x 2 J 2 ( x ) d x = x 3 J 3 x + C

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para resolvermos está questão, na primeira parte vamos derivar J 0 ( x ) em função de x e ver se encontramos J 1 ( x ) que é definido por:

J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n + 1 ! x 2 2 n + 1

E na segunda parte integração para achar J 3 ( x ) na função, onde J 3 ( x ) é:

J 3 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n + 2 ! x 2 2 n + 3

Então, vamos para a resolução!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos dá é:

D x J 0 x = d d x ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n ! x 2 2 n

Derivando.

D x J 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n ! 2 n x 2 2 n - 1 1 2

D x J 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 n + 1 ! n + 1 ! ( n + 1 ) x 2 2 n + 1

D x J 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( - 1 ) n ! n + 1 ! x 2 2 n + 1

D x J 0 x = - J 1 ( x )

Pronto!! Provamos a letra (a).

Passo 3

A função que vamos integrar é a seguinte:

∫ x 3 J 2 ( x ) d x = ∫ x 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n + 2 ! x 2 2 n + 2 d x

= ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n + 2 ! ( 8 ) x 2 2 n + 5 d x

Integrando em relação a x encontramos:

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n + 2 ! . 8.2 2 ( n + 3 ) x 2 2 n + 6 + C

= x 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! n + 3 ! x 2 2 n + 3 + C

= x 3 J 3 x + C

Aqui terminamos a questão!!

Resposta

Resolução nos passos anteriores.